新高考数学一轮复习讲与练第20讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．己知m，n是两条不重合的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误.
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或异面，故A错误.
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，故B错误.
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，故C错误.
对于D，由线面垂直的性质可得若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：D.
2．已知空间中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据空间中的线和平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，
由垂直于同一平面的两直线平行，可知B正确,
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面或者 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，不能得到 SKIPIF 1 < 0 ，只有当 SKIPIF 1 < 0 时，才可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选：B
3．已知两条不同的直线 SKIPIF 1 < 0 及两个不同的平面 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行或异面
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一定相交
【答案】C
【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 没有交点，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行或异面，故A，B错误，C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，故D错误故选：C
4．设 SKIPIF 1 < 0 为两条直线， SKIPIF 1 < 0 为两个平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所称的角相等，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据平行和垂直的性质定理，并进行判断.
【详解】对于选项A,将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所称的角相等，则 SKIPIF 1 < 0 ”故A错；
对于选项C,若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 位置关系可能是平行，相交或异面，故C错；
对于选项D,若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是错误的，两平面 SKIPIF 1 < 0 还可能是相交平面；故D错；
对于选项B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的.
故选：B.
5．三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
对于B， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 C. 故选：B．
6（理科）．如图，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .若过点 SKIPIF 1 < 0 的平面与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设 SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行的性质得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由线面平行的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、填空题
7．空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 即可得所求角度.
【详解】
空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正棱锥的侧棱长为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】如图所示， SKIPIF 1 < 0 是一个正四棱锥，
SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
侧棱 SKIPIF 1 < 0 与底面所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以侧棱 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的二面角 SKIPIF 1 < 0 棱 SKIPIF 1 < 0 上的两点，线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在平面 SKIPIF 1 < 0 内，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为______．
【答案】4
【分析】作辅助线使 SKIPIF 1 < 0 为二面角的平面角，由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再通过证明 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，得出 SKIPIF 1 < 0 ，通过勾股定理即可求解.
【详解】如图所示：
在平面 SKIPIF 1 < 0 中，过A作直线平行于BD，
在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED．
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3．
由 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，结合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，
SKIPIF 1 < 0 平面EAC，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形．
由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：4
10．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，则a SKIPIF 1 < 0 c；
②若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，则a SKIPIF 1 < 0 c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，b SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b一定是异面直线；
上述命题中正确的是_______（只填序号）．
【答案】①
【分析】对于①，用平行的传递性即可判断；对于②，利用直线垂直的性质即可判断；对于③，利用直线的位置关系判断；对于④，利用异面直线的定义判断
【详解】解：①根据空间直线平行的平行公理可知，若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，则a SKIPIF 1 < 0 c，所以①正确；
②在空间中，若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以相交、平行，也可以异面，所以②错误；
③在空间中，若a与b相交，b与c相交， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以相交、平行，也可以异面，所以③错误；
④若a SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，b SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，并不能说明 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不在同一个平面内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以平行、相交，也可能是异面直线，所以④错误，
故答案为：①．
三、解答题
11（理科）．如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点E在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
【解析】（1）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 是正三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
如图以 SKIPIF 1 < 0 的中点为坐标原点建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正切值；
【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，E是AD中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PAD，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PCE，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAD.
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，
即 SKIPIF 1 < 0 是PC与平面PAD所成角的平面角，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴PC与平面PAD所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．已知矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿BD折起至 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与AD所成角最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先判断当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时， SKIPIF 1 < 0 ，进而证得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，再证得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，故可由 SKIPIF 1 < 0 求得结果.
【详解】因为异面直线最大角为直角，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角最大，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若l SKIPIF 1 < 0 m，m SKIPIF 1 < 0 n，l⊥α，则n⊥α
C．若l SKIPIF 1 < 0 m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l SKIPIF 1 < 0 m
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据线面垂直的性质结论可判断B,C；根据线面垂直的性质结合空间直线的位置关系可判断D.
【详解】由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：
在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m,n不一定相交，
则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；
在B中，若l SKIPIF 1 < 0 m，m SKIPIF 1 < 0 n，则l SKIPIF 1 < 0 n，又因为l⊥α， 故n⊥α，故B正确；
在C中，若l SKIPIF 1 < 0 m，m⊥α，n⊥α，则l SKIPIF 1 < 0 n，故C错误；
在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．
3．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，点E，F分别为棱CD， SKIPIF 1 < 0 的中点，点P为四边形 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）的一动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，则点P的轨迹长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】通过作图，利用面面平行找到点P的轨迹，从而求得其长度，即得答案.
【详解】画出示意图如下：
取 SKIPIF 1 < 0 中点N，取 SKIPIF 1 < 0 中点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 BE，
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故MN SKIPIF 1 < 0 EF，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面BEF,
所以平面BEF SKIPIF 1 < 0 平面B1MN，
平面 SKIPIF 1 < 0 ∩平面 SKIPIF 1 < 0 =MN，所以P点轨迹即为MN，
长度为 SKIPIF 1 < 0 ；
证明：因为平面BEF SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
P点是MN上的动点，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，满足题意.故选：A．
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由线面平行与面面平行的判定定理求解即可
【详解】取C1D1，D1D，CD，FG中点分别为E、F、G，H，连接EP，AF，FG，AG，AH，如图所示：
∵P为CC1的中点，
则平面A1BP即为平面A1BPE，EP∥DB，FG∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，
∵FG⊄平面A1BPE，AG⊄平面A1BPE，
∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，
又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，
∴AFG∥平面A1BP，
∴当Q运动到FG中点H时，此时AH⊂平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值为AH，
∵AB＝2，
∴AF＝AG SKIPIF 1 < 0 ，FG SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△AFH中，AH SKIPIF 1 < 0 ，
故AQ的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若 SKIPIF 1 < 0 平面AMN，则PA1的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可以找到 SKIPIF 1 < 0 点在右侧面的运动轨迹，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【详解】
如图所示，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点在右侧面，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 点位于 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 最小，
此时， SKIPIF 1 < 0 .故选：C
6．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，则下列判断错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的垂心D．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而判断A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，进而得平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而判断B；
由三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正三棱锥，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的垂心，从而判断C；
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于O点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角，在 SKIPIF 1 < 0 中计算 SKIPIF 1 < 0 的值，从而判断D.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正三棱锥（或由 SKIPIF 1 < 0 两两垂直）得直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的垂心，故C正确；
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于O点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．故选：D.
二、填空题
7．在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°.当三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积最小时，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点B作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理证明面面垂直和线面垂直，得到 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，再利用底面三角形的面积和基本不等式得到 SKIPIF 1 < 0 ，进一步确定三棱柱体积的最值和外接球球心位置和半径.
【详解】过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为D，连接 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的射影，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 取得最小值1，
此时，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点O，
且该球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球O的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列命题：
①不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积是定值；
③直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
④经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点的球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
正确的是______.
【答案】②③④
【分析】连接PQ， SKIPIF 1 < 0 ，当Q是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，由线面平行的判定可证，即可判断①，根据 SKIPIF 1 < 0 即可判断②，证明 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断③，分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点E，F，构造长方体 SKIPIF 1 < 0 ，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积，即可判断④；
【详解】解：连接PQ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，即为 SKIPIF 1 < 0 到到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积是定值，即②正确；
由正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0
分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点E，F，构造长方体 SKIPIF 1 < 0 ，
则经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点的球即为长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体 SKIPIF 1 < 0 的体对角线即为所求的球的直径，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点的球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确.
故答案为：②③④
9．如图，已知圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 长为 2 ，上半圆圆弧上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是劣弧 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 是下半圆弧上的动点，现以 SKIPIF 1 < 0 为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接 SKIPIF 1 < 0 则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的最大体积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由于要使三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
需要 SKIPIF 1 < 0 的面积最大且 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，结合条件计算即可.
【详解】
如图，要使三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
需要 SKIPIF 1 < 0 的面积最大且 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大.
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，只需要 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，
则 SKIPIF 1 < 0 为半圆弧 SKIPIF 1 < 0 的中点，此时 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为1 .
所以，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的最大体积为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
10．已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离.
【详解】如图所示，该四棱锥为 SKIPIF 1 < 0 ，底面中心为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
11．如图， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一点， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(3)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【解析】（1）因为正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故EF SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（3）
如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0
由正方形 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
12（理科）．如图， 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， 二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角， SKIPIF 1 < 0 ， 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ， 求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
解：如图，
以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断A；如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，
在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或其补角为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而有： SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，很明显四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项D错误；
故选：A.
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 上的点．记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先用几何法表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
3．（2022·全国·高考真题（理））在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角均为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．AB与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，依题以及长方体的结构特征可知， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．D正确．故选：D．
4．（2020·山东·高考真题）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面，故A错误；
B. SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面，故B错误；
C.四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，不是菱形，所以对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C错误；
D.连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D
5．（2019·全国·高考真题（理））如图，点 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则
A． SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 是相交直线
B． SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 是相交直线
C． SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线
D． SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线
【答案】B
【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
6．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是正三角形，侧棱长均相等， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的点（不含端点），记直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在底面投影 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 （显然 SKIPIF 1 < 0 ）
由最大角定理 SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
方法3：（特殊位置）取 SKIPIF 1 < 0 为正四面体， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，易得
SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
7．（2019·全国·高考真题（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个平面，则 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是
A． SKIPIF 1 < 0 内有无数条直线与 SKIPIF 1 < 0 平行
B． SKIPIF 1 < 0 内有两条相交直线与 SKIPIF 1 < 0 平行
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行于同一条直线
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直于同一平面
【答案】B
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知： SKIPIF 1 < 0 内两条相交直线都与 SKIPIF 1 < 0 平行是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件，由面面平行性质定理知，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 内任意一条直线都与 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 内两条相交直线都与 SKIPIF 1 < 0 平行是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件，故选B．