山西省运城市盐湖区第五高级中学2025届高三上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市盐湖区第五高级中学2025届高三上学期开学考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（共40分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合以及集合间的关系逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误；
对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误；
对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确；
对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误；
故选：C
2. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限．
【详解】由题意知，，
其共轭复数为，
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C．
3. 设且，则的最大值是（ ）
A. 400B. 100
C. 40D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】直接用基本不等式求解即可.
【详解】因为
所以
即
所以
当且仅当且，即时等号成立.
故选：A
4. 已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A. 12B. 8C. 4D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】,
故选：D
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.
【详解】因为在单调递增，且,
所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，
因此推不出,
同样推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A 2B. 0C. 60D. 62
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
7. 已知函数则下列结论错误的是（ ）
A. 存在实数，使函数为奇函数；
B. 对任意实数和，函数总存在零点；
C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分别作出，，的函数的图像，然后结合图像逐项分析判断即可.
【详解】首先分别作出，，的函数的图像，如下：
结合图像进行分析：
当时，，此时如图1所示，
函数的图像关于原点对称，其为奇函数，
所以存在，使得函数为奇函数，故A正确；
由图可知，无论取何值，当时，，当时，，
所以函数既无最大值也无最小值，故C正确；
作一条直线，当时，存在实数使得函数y=fx的图像与没有交点，
即此时没有零点，
因此对于任意实数和，函数总存在零点不正确，故B不正确；
如图2，当时，对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减，故D正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.
8. 两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由古典概型的计算公式即可求解.
【详解】两名男生，一名女生记为
两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数，
女生站在中间的可能为：，故可能数，
则女生站在中间的概率.
故选：A.
二、多选题（共18分）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的周期
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质逐一判断选项即可.
【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确；
∵，∴，又在上不单调，故B错误；
∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确；
令，得，故D正确，
故选：ACD．
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点P，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则P的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
11. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 弦的中点轨迹是圆
B. 直线的交点在定圆上
C. 线段的最小值为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断A；联立两直线方程消去判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最小值判断C．
【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点，
所以.而，半径为2，
则圆心到弦的距离为.
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由，消去可得，
得，即，故选项B正确；
对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，
又由选项B知，点的轨迹方程为：，
所以，，，
线段，故选项C不正确；
对于选项D：，
故，故，
由选项C知，，
所以，故选项D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】设由得，由均在抛物线上求出可得直线的斜率，再由点斜式方程方程可得答案.
【详解】由题，，又，
则，，
由题意知,，因此，
即，
又由均在抛物线上知，
解得，
直线的斜率为，
因此直线的方程为或.
故答案为：或.
13. 已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为__________.
【答案】135
【解析】
【分析】根据题意求出,再写出二项展开式的通项，令的指数部分为0，然后求解即可.
【详解】依题意，解得，
二项式的通项为,
令，得，
所以展开式中常数项为.
故答案为：135.
14. 函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上___________（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为___________．
【答案】 ①. 不是 ②.
【解析】
【分析】根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义，先检验时，是否恒成立即可，举反例即可判断；再根据函数在上是3阶无穷递降函数可得恒成立，推理得到，结合图象即得a的最大值
【详解】由，，，满足，
由，
若取，则，
即时，，故函数在上不是2阶无穷递降函数；
若在上是3阶无穷递降函数，
则在上恒成立，
即，即，也即，
因时，恒成立，故只需使在上恒成立即可，
结合余弦函数的图象知，，即a的最大值为.
故答案为：不是；.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数新定义问题，属于难题.
解题思路即是，根据新定义规定一一检测，对于判断结论时，一般看能否推理结论成立，或者是否存在反例；对于由满足条件的函数求参问题，常常将其转化成函数不等式恒（能）成立问题解决.
四、解答题（共77分）
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，，求a的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，可得，或，分类讨论即可证明；
（2）由，求解，利用，求解，结合正弦定理即可求解.
【小问1详解】
由及正弦定理可得，，
，
即，
所以，
整理得，
即，
又，是的内角，
所以，，
所以或（舍去），
即．
【小问2详解】
由及可知，．
由可知，，．
由可得，．
在中，由正弦定理
可得，，解得，
16. 如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．
（1）求证：平面．
（2）若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行；
（2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可.
小问1详解】
如图所示，取中点O，且P是中点，
∴ ，
取的四等分点H，使，且，
∴ ，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴ ，在平面外，且平面，
∴ 平面．
【小问2详解】
取的中点E，连接，易知，
则或其补角为异面直线和所成的角，
因为平面，平面，
所以，即，
显然，所以为直角三角形，
通过解三角形可得，
即异面直线和所成角的余弦值为．
17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】（1）
（2）（i）分布列见解析，；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.
【小问1详解】
由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
【小问2详解】
（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
18. 已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点），
（1）求双曲线的离心率；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标和圆的方程，通过联立方程组求出两点，由，求出的值得双曲线的离心率；
（2）由的坐标，可求出的面积.
【小问1详解】
椭圆中，，，，
椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为.
双曲线的渐近线方程为，
的方程：.
由得，，.
由题意知，、分别为第一、二象限的交点，
∴，，
∴，，
∵，∴，∴.
化简整理得，
又∵代入上式，解之得，.
∴双曲线方程：.
离心率.
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，.
∴.
19. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
（1）当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
（2）当时，求数列的通项公式；
（3）是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）8 （2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）递推求出数列的项；
（2）先化简再根据等差和等比数列求通项公式；
（3）结合累乘法求出数列通项公式分段得出通项.
【小问1详解】
将数列1，2进行第一次"型拓展"得到1，2，2；进行第二次"型拓展"得到；进行第三次"型拓展"得到1，2，2，4，2，8，4，8，2；所以第6项为8；
【小问2详解】
当时，
所以，又
从而是首项为，公比为3的等比数列，
即bn是以2为首项，1为公差的等差数列，
【小问3详解】
将数列进行型拓展后得到数列
显然，
且，
可以看作是数列的前项和，
即分别对应
取
当时，
即.
【点睛】关键点睛：关键在于对新定义的理解，围绕新定义寻找数列前后项的关系得到递推公式，然后利用构造法求出通项即可解得.
0
1
2
3