新高考数学一轮复习教案第8章第2节 两条直线的位置关系（含解析）

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1.结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养．
3．结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三种距离公式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(由平行关系求直线方程)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故c＝－1，所求直线方程为x－2y－1＝0.
2．(点到直线的距离)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1
解析：选C 由题意知eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq \r(2)，又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.
3．(点关于线对称)点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－b,x′－a)×－1＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．(两直线的交点)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________．
解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
答案：3x＋19y＝0
二、易错点练清
1．(忽视两平行直线系数不一致)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是( )
A.eq \f(8,5) B．2 C.eq \f(11,5) D.eq \f(7,5)
解析：选B 依题意得，所求的距离等于eq \f(|－18－2|,\r(62＋82))＝2.
2．(忽视两直线重合)若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________.
解析：因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1.
答案：1
3．(忽视平行关系的直线斜率不存在) 已知直线(m＋1)x＋(2m－1)y＝3与(3m－1)x－(2m2－11m＋5)y＝5平行，则实数m的值为________．
解析：当m≠eq \f(1,2)时，由直线平行可知eq \f(m＋1,3m－1)＝eq \f(2m－1,－2m2－11m＋5)≠eq \f(3,5)，解得m＝－2或m＝3，当m＝eq \f(1,2)时，两条直线都垂直于x轴也符合．故m＝eq \f(1,2)或m＝－2，或m＝3.
答案：eq \f(1,2)，－2,3
考点一 两直线的平行与垂直
[典题例析]
(1)(多选)直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋1＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝－1
C．若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D．若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
(2)已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
[解析] (1)∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mm－2＝3，,m－2≠－1，))
解得m＝－1或m＝3，经检验符合题意，∴A正确．
∵l1⊥l2，∴(m－2)×1＋3m＝0，
解得m＝eq \f(1,2)，∴D正确．
(2)由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
(3)l1的斜率k1＝eq \f(3a－0,1－－2)＝a.
当a≠0时，l2的斜率k2＝eq \f(－2a－－1,a－0)＝eq \f(1－2a,a).
因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq \f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
[答案] (1)AD (2)A (3)1或0
[方法技巧] 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
[提醒] 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
[针对训练]
1．(2021·长沙明德中学模拟)“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若l1∥l2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mm＋1＝6，,4m≠2×－2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6＝0，,m≠－1，))解得m＝－3或2.
因此“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．
2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则eq \f(m,n)的取值范围为________．
解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(m,m2＋2m)＝eq \f(1,m＋2)，则0＜eq \f(1,m＋2)＜eq \f(1,2)，故eq \f(m,n)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
3．若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．
解析：因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－eq \f(1,2m)＝eq \f(3m－1,m)或者m＝0，所以m＝eq \f(1,6)或0.
答案：0或eq \f(1,6)
考点二 两直线的交点与距离问题
[典例] (1)经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________.
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)法一：当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，
直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
[答案] (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
[方法技巧]
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式解题的注意点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
[针对训练]
1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选B 法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1)).当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq \f(1,k)最小，∴当k＝1时，dmax＝eq \r(2)，故选B.
法二：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为eq \r(2).
2．(2021·烟台调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
解析：选A 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，
分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)＋1，1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1)))，又因为MN的中点是P(1，－1)，由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\f(2,k)＋1＋\f(k－6,k－1),2)＝1，,\f(1＋\f(－6k＋1,k－1),2)＝－1，))解得k＝－eq \f(2,3).
3．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．
解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
考点三 两直线的对称问题
考法(一) 点关于点的对称
[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
[解析] 设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
[答案] x＋4y－4＝0
[方法技巧]
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．
考法(二) 点关于线的对称
[例2] 已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
[解析] 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))即M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
[答案] 6x－y－6＝0
[方法技巧]
1．若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋C＝0垂直平分线段AB，即有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
2．几个常用结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
考法(三) 线关于线对称
[例3] 直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为________．
[解析] 法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得直线l1与直线l的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,3))).
在直线l1上取一点B(2,0)，
设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2)－\f(y,2)＋2＝0，,\f(y,x－2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4，))即C(－2,4)．
又直线l2过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,3)))和C(－2,4)两点，
故由两点式得直线l2的方程为eq \f(y－4,\f(8,3)－4)＝eq \f(x＋2,\f(2,3)＋2)，
即x＋2y－6＝0.
法二：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，
则线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))，直线MN的斜率为eq \f(y－y0,x－x0).
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,\f(y－y0,x－x0)＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))因为M(x0，y0)在直线l1上，
所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，
所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0.
[答案] x＋2y－6＝0
[方法技巧]
求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
考法(四) 线关于点对称
[例4] 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
[解析] 在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，
所以直线m的方程为eq \f(y＋11,－5＋11)＝eq \f(x＋12,－3＋12)，
即2x－3y－9＝0.
[答案] 2x－3y－9＝0
[方法技巧]
直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．
创新思维角度——融会贯通学妙法
活用直线系方程解决求直线问题
类型(一) 过直线交点的直线系方程
[例1] 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解] 法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
故P点坐标为(0,2)，因为直线l与3x－4y＋5＝0垂直，
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
[名师微点]
解决本例的方法一般有：一是通过联立方程组求交点，再结合两直线垂直这一条件，求直线l的方程；二是利用过两直线交点的直线系方程求解，即过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)，恰当使用直线系方程可简化运算．
类型(二) 平行直线系方程
[例2] 过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________．
[解析] 设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
[答案] 2x＋3y＋10＝0
[名师微点]
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
类型(三) 垂直直线系方程
[例3] 经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________．
[解析] 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
[答案] x－2y＝0
[名师微点]
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
类型(四) 直线系方程的应用
[例4] 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
[解] 设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得
eq \f(|2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))
＝eq \f(|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
解析：选D 由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
解析：选B 由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直线l的斜率为eq \f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.
4．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
解析：选D 由题意得，点P到直线的距离为
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
6．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________．
解析：过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq \f(1,4)，
故所求直线为x－y＝0.
答案：x－y＝0
二、综合练——练思维敏锐度
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
解析：选C 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
解析：选C 由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.
3．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
解析：选BD 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，则m＝( )
A．7 B.eq \f(17,2)
C．14 D．17
解析：选B 直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，
即2x＋6y＋2m＝0，
因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，
所以eq \f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq \r(10)，求得m＝eq \f(17,2).
5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D 由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) B．(0,5]
C．(eq \r(34)，＋∞) D．(0，eq \r(34) ]
解析：选D 当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为eq \r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq \r(34)，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq \r(34) ]．
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，
∴直线A′C即BC所在直线的方程为
y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
又知点C在直线y＝2x上，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)，故选C.
9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
解析：选D 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0