新高考数学一轮复习教案第8章第4节 椭圆（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第8章第4节 椭圆（含解析），共24页。
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若ab>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，依题意知 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(－2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
考点一 椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] (2021·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq \r(3)，则△PF1F2的周长是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3)
C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
[解析] 如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且
|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为
2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(3)，
所以a＝eq \r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，
所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，故选A.
[答案] A
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，
∴|AF′|＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq \r(2)＋eq \r(17)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4eq \r(2)－eq \r(17).
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]．
[答案] [4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
[针对训练]
1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C选项正确；
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
2．(2021·惠州调研)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1. ①
∵△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，
∴a－c＝2－eq \r(3). ②
由①②联立解得，a＝2，c＝eq \r(3).
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq \f(4,|PF1|4－|PF1|)＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，
又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，
即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[解析] 法一：定义法
椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，
解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为eq \f(y2,25＋k)＋eq \f(x2,9＋k)＝1(k>－9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐标代入，可得eq \f(－\r(5)2,25＋k)＋eq \f(\r(3)2,9＋k)＝1，
解得k＝－5，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
[答案] C
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，
连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
[针对训练]
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq \r(3))在椭圆上知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)(2021·武汉模拟)已知椭圆方程为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] (1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，c＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(\r(2),2).故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，
由eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
又点A在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，
整理可得eq \f(16,9)·eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(\r(2),2).故选D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] (1)(2021·湛江模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
[解析] (1)设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1， －y1)，
kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)).
又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式做差，代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故0b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析：选A 设P(x0，y0)，由题易知|x0|(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))min，又yeq \\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)，xeq \\al(2,0)b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，解得e>eq \f(\r(2),2)，又00，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上的两点，
把点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))将两式作差并整理得
eq \f(x1－x2x1＋x2,m)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,n)＝0，
记弦AB的中点为M(x0，y0)，
若x1≠x2，则eq \f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝－eq \f(n,m)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，
从而kAB·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，即kAB·kOM＝－eq \f(n,m).
[应用体验]
1．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
解析：选D 设AB的中点为M(1，－1)，
则kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，
而kAB＝kMF＝eq \f(0－－1,3－1)＝eq \f(1,2)，kOM＝－1，
故eq \f(1,2)×(－1)＝－eq \f(b2,a2)，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
2．如果AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：选C 易知kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝e2－1.
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,32)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,36)＝1
解析：选A 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1.
2．(2021·宜昌夷陵中学模拟)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则( )
A．e1>e2
B．e1a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.
令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，则a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.
所以eq \f(1,e1)＝eq \f(a1,c1)＝eq \f(c1＋t,c1)＝1＋eq \f(t,c1)，
eq \f(1,e2)＝eq \f(a2,c2)＝eq \f(c2＋t,c2)＝1＋eq \f(t,c2).
因为c1>c2>0，t>0，所以eq \f(t,c1)b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A ∵△AF1B的周长为4eq \r(3)，
∴由椭圆的定义可知4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选C ∵c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，
∴tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(00)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
11．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝eq \f(1,2)|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝eq \f(3,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
12．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝eq \r(2)b，即椭圆方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－b))，且eq \f(m2,2b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，
即n2－b2＝－eq \f(m2,2)，
kAMkBM＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝eq \f(－\f(m2,2),m2)＝－eq \f(1,2)，
又kAM＝－1，∴kBM＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝eq \r(a2－b2)，设B(x，y)．
由eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
将B点坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①
又由eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
三、自选练——练高考区分度
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝eq \f(a,3)，∴|AF2|＝a，|BF1|＝eq \f(5,3)a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
如图所示，在Rt△AF2O中，
cs∠AF2O＝eq \f(1,a).
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cs∠BF2F1＝eq \f(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)a))2,2×2×\f(a,3))＝eq \f(3－2a2,a)，
根据cs∠AF2O＋cs∠BF2F1＝0，可得eq \f(1,a)＋eq \f(3－2a2,a)＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))) B．(eq \r(3)－1,1)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(\r(6),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3)))
解析：选A 如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccs α，
∴2csin α＋2ccs α＝2a，
∴e＝eq \f(1,sin α＋cs α)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))).
∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,12)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(2)＋\r(6),4)))，
∴eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(1＋\r(3),2)))，
∴e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))).故选A.
3.如图所示，A1，A2是椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
解析：选A 由题意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
设M(x0，y0)，N(x1，y1)，则直线MA1的斜率为kMA1＝eq \f(y0－3,x0).
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率为k NA1＝－eq \f(x0,y0－3).
于是直线NA1的方程为y＝－eq \f(x0,y0－3)x＋3. ①
同理，NA2的方程为y＝－eq \f(x0,y0＋3)x－3. ②
联立①②消去y，得x＝x1＝eq \f(y\\al(2,0)－9,x0).
因为M(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1上，所以eq \f(x\\al(2,0),18)＋eq \f(y\\al(2,0),9)＝1，从而yeq \\al(2,0)－9＝－eq \f(x\\al(2,0),2)，所以x1＝－eq \f(x0,2)，所以eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,x1)))＝2.故选A.标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系