新高考数学一轮复习教案第3章第2节 第3课时 手握方法巧破障——破解“函数与导数”问题常用到的4种方法（含解析）

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以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，eq \f(fx,gx)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
类型(一) 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数
[例1] 设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cs x0时，f′(x)＋cs x0⇔F(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
[答案] A
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
类型(三) 构造eq \f(fx,gx)型可导函数
[例3] (多选)(2021·聊城模拟)已知定义在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B．eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) D．eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
[解析] 根据题意，令g(x)＝eq \f(fx,cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则其导数g′(x)＝eq \f(f′xcs x＋sin xfx,cs2x)，又由x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0，则有g′(x)＜0，即函数g(x)为减函数．由eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)，则有geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，即eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),cs\f(π,6))＞eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),cs\f(π,3))，分析可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))；又由eq \f(π,6)＜eq \f(π,4)，则有geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),cs\f(π,6))＞eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),cs\f(π,4))，分析可得eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))).故选C、D.
[答案] CD
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′”，构造可导函数y＝eq \f(fx,gx)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
[归纳总结]
构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,ex).
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,x).
[针对训练]
1．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，则不等式f(lg2|3x－1|)0，故F(x)在定义域内单调递增，由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)＋2＝3，因为f(lg2|3x－1|)