2025年高考数学一轮复习-椭圆及其标准方程-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-椭圆及其标准方程-专项训练【含答案】，共5页。试卷主要包含了已知椭圆C，若F1,F2分别是椭圆C，若F1,F2为椭圆C，已知曲线C，已知椭圆M，已知椭圆C1与椭圆C2等内容，欢迎下载使用。
基 础 巩固练
1.已知△ABC的周长为10,且顶点B(-2,0),C(2,0),则顶点A的轨迹方程是( )

A.x29+y25=1(y≠0)
B.x25+y29=1(y≠0)
C.x26+y24=1(y≠0)
D.x24+y26=1(y≠0)
2.已知椭圆C:x216+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆C于P,Q两点,若|F1P|+|F1Q|=10,则|PQ|=( )
A.8B.6C.4D.2
3.若F1,F2分别是椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,|PF1|=6,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则|OM|的长为( )
A.1B.2C.3D.4
4.(2023盐城调研)若F1,F2为椭圆C:x24+y23=1的两个焦点,P为椭圆C内部的动点,则△PF1F2周长的取值范围为( )
A.(2,6)B.[4,6)C.(4,6)D.[4,8)
5.(多选题)已知曲线C:Ax2+By2=1(A>0,B>0),则( )
A.当A>B时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆
B.当A≠B时,曲线C为椭圆
C.曲线C关于直线y=x对称
D.当A≠B时,曲线C的焦距为2|A-B|AB
6.(多选题)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是( )
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为10
C.存在点P满足∠F1PF2=90°
D.若△PF1F2的面积为45,则点P的横坐标为±5
7.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,则此椭圆的标准方程为 .
8.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2= .
9.已知椭圆C1与椭圆C2:x230+y25=1有共同的焦点F1,F2,点P在椭圆C1上,PF1⊥PF2, .在下面条件中选择一个,补充在上面的横线上,并作答.
①椭圆C1过点(52,0);②椭圆C1的短轴长为10.
求椭圆C1的标准方程;
(2)求△PF1F2的面积.
综 合 提升练
10.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程x216+y29=1,点A,B是它的两个焦点,当静止的小球放在点A处,从点A沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,回到点A时,小球经过的最短路程是( )
A.20B.18
C.16D.以上均有可能
11.已知椭圆C:x225+y216=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=( )
A.10B.15C.20D.25
12.动点M分别与两定点A(-5,0),B(5,0)连线的斜率的乘积为-1625,设点M的轨迹为曲线C,已知N(2,3),F(-3,0),则|MF|+|MN|的最小值为( )
A.4B.8C.23D.12
13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-2,0),F2(2,0).如图,过F1(-2,0)作倾斜角为60°的直线l交上半椭圆于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2= .
14.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆x225+y29=1上的动点,则|MA|+|MB|的最大值是 .
15.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆E的上顶点,且△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程.
(2)已知O为坐标原点,直线l:x-2y+1=0与椭圆E交于A,B两点,判断椭圆E上是否存在点P,使得四边形OAPB恰好为平行四边形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
创 新 应用练
16.如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2处.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm,试建立适当的平面直角坐标系,则截口BAC所在椭圆的方程为 .(精确到0.1 cm)
参考答案
1.A 2.B 3.A 4.C 5.ABD 6.BD
7.x210+y26=1 8.2π3
9.解 (1)设椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),a2+b2=c2,椭圆C1与椭圆C2:x230+y25=1具有共同的焦点,则c2=25.
选①,由已知可得a=52,则b2=25,所以椭圆C1的方程为x250+y225=1.
选②,由已知可得b=5,则a2=50,所以椭圆C1的方程为x250+y225=1.
(2)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=102,①
又因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=100,②
由①②可得(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=100+2|PF1|·|PF2|=200,解得|PF1|·|PF2|=50,因此S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=25.
10.C 11.C 12.B
13.23 14.10+210
15.解 (1)由已知得F1(-c,0),F2(c,0),设M(0,b).
∵△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形,
∴b=c=1,a=2,
∴椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得x22+y2=1,x=2y-1,整理得4y2-22y-1=0,则Δ=8+16>0.
根据根与系数的关系得y1+y2=22,y1y2=-14.
假设存在点P满足四边形OAPB恰好为平行四边形,所以OP=OA+OB.
所以yP=y1+y2=22,
xP=x1+x2=2y1-1+2y2-1=2(y1+y2)-2=-1,
将点P-1,22代入椭圆E的方程,得12+12=1,所以点P在椭圆E上.
所以点P的坐标为-1,22.
+y23.42=1