2025年高考数学一轮复习-等和线、奔驰定理、三角形四心-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-等和线、奔驰定理、三角形四心-专项训练【含答案】，共9页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3)
C.－eq \f(1,3) D.－eq \f(2,3)
2.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.1
3.已知△ABC，平面内一动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，则动点P过△ABC的( )
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
4.已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m，使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，则m等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.若H为△ABC所在平面内一点，且|eq \(HA,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝|eq \(HB,\s\up6(→))|2＋|eq \(CA,\s\up6(→))|2＝|eq \(HC,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2，则点H是△ABC的( )
A.重心 B.外心
C.内心 D.垂心
6.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \r(3)
C.3 D.2eq \r(3)
7.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶SBOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9)
C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
8.已知O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2,3)
9.若M是△ABC内一点，且满足eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，则△ABM与△ACM的面积之比为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.2
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ等于( )
A.1 B.eq \f(3,4)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq \(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________.
12.设O为△ABC内一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则S△OAB∶S△OBC＝________.
二、创新拓展练
13.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边界)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围为( )
A.[0，1] B.[0，2]
C.[0，3] D.[0，4]
14.已知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足|eq \(PD,\s\up6(→))|≤1，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，其中x＋y≥1，则2x＋y的最大值为( )
A.1 B.eq \f(3,2)
C.2 D.eq \f(5,2)
15.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________.
16.设G为△ABC的重心，且sin A·eq \(GA,\s\up6(→))＋sin B·eq \(GB,\s\up6(→))＋sin C·eq \(GC,\s\up6(→))＝0，则角B＝________.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 A
解析 由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以eq \f(1,3)＋λ＝1，λ＝eq \f(2,3).
2.答案 A
解析 法一(通法) 设eq \(BM,\s\up6(→))＝teq \(BC,\s\up6(→))，
则eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(1,2)－eq \f(t,2)，μ＝eq \f(t,2)，
∴λ＋μ＝eq \f(1,2).
法二(等和线法) 如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，
则k＝eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|).
由图易知，eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，故选A.
3.答案 A
解析 ∵eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→)) 方向上的单位向量，
∴eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向与∠BAC的角平分线一致.
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心.
4.答案 B
解析 ∵eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴M为△ABC的重心，
连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
即eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，
∴m＝3.
5.答案 D
解析 ∵|eq \(HA,\s\up6(→))|2－|eq \(HB,\s\up6(→))|2
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2，
∴(eq \(HA,\s\up6(→))＋eq \(HB,\s\up6(→)))·eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(BA,\s\up6(→))，
即(eq \(HA,\s\up6(→))＋eq \(HB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，
即(eq \(HC,\s\up6(→))＋eq \(HC,\s\up6(→)))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(HC,\s\up6(→))，
同理eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(HB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(HA,\s\up6(→))，
故H是△ABC的垂心.
6.答案 C
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))，
故点O是BC的中点，且△ABC是直角三角形，又△ABC的外接圆半径为1，
|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，
∴BC＝2，AB＝1，CA＝eq \r(3)，∠BCA＝30°，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \r(3)×2×eq \f(\r(3),2)＝3.
7.答案 A
解析 根据奔驰定理，得
3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
8.答案 A
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴O是△ABC的重心，
∴S△OBC＝eq \f(1,3)S△ABC，
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，
又S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝eq \r(3)，
∴△OBC的面积为eq \f(\r(3),3).
9.答案 A
解析 法一(通法) 设AC的中点为D，
则eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，于是2eq \(BD,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，
从而eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(BM,\s\up6(→))，
即M为BD的中点，
于是eq \f(S△ABM,S△ACM)＝eq \f(S△AMD,2S△AMD)＝eq \f(1,2).
法二(奔驰定理法) 由eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，
得eq \(AM,\s\up6(→))＋2eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝0，
根据奔驰定理得，eq \f(S△ABM,S△ACM)＝eq \f(1,2).
10.答案 A
解析 (等和线法)如图，作eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
11.答案 eq \f(2,3)
解析 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|AO|,|AM|).
由题设知O为△ABC重心，eq \f(|AO|,|AM|)＝eq \f(2,3).
12.答案 eq \f(3,5)
解析 由eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))可得－12eq \(OA,\s\up6(→))＝4(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
整理得5eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴S△OAB∶S△OBC＝eq \f(3,5).
二、创新拓展练
13.答案 C
解析 (等和线法)设λ＋μ＝k，则直线BC为k＝1的等和线，所有与BC平行的直线中，过点A时，k＝0，过点D的距离BC最远，由于△BCD与△ABC的面积之比为2，故二者的高之比也是2，故k的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].
14.答案 D
解析 ∵动点P满足
|eq \(PD,\s\up6(→))|≤1，
∴P的轨迹为以D为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D与边AB交于点B1，连接B1C，
则B1C⊥AB，且B1是AB中点，
则AB1＝eq \f(1,2)AB，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝2xeq \(AB1,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
∵x＋y≥1，由等和线性质知P点在直线B1C左下方，如图，作直线B1C的平行线l与圆D相切于P，由等和线性质知，此时2x＋y有最大值，延长AB交l于点B2，
∴(2x＋y)max＝eq \f(AB2,AB1)＝eq \f(1＋\f(1,2)＋1,1)＝eq \f(5,2).
15.答案 [3，4]
解析 (等和线法)直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(AN,AM)，\f(AD,AM))).
设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故α＋β∈[3，4].
16.答案 60°
解析 ∵G是△ABC的重心，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
又sin A·eq \(GA,\s\up6(→))＋sin B·eq \(GB,\s\up6(→))＋sin C·eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴sin A＝sin B＝sin C，
即a＝b＝c，则△ABC是等边三角形，
故B＝60°.