2025高考数学一轮复习-7.4.2-二项式定理的应用-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.4.2-二项式定理的应用-专项训练【含解析】，共7页。试卷主要包含了6的展开式中x4y3的系数为等内容，欢迎下载使用。

A．160 B．192
C．184D．186
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中第3项是常数项，则n＝( )
A．6B．5
C．4D．3
3．(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( )
A．49B．56
C．59D．64
4．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A．－80B．－40
C．40D．80
5．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,2)))n的展开式中所有项的系数和等于eq \f(1,256)，则展开式中项的系数的最大值是( )
A．eq \f(7,2)B．eq \f(35,8)
C．7D．70
6．(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－ax2))n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．a＝1
B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大
D．展开式中的常数项为45
7．(多选)关于多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－2))4的展开式，下列结论中正确的有( )
A．各项系数之和为0
B．各项系数的绝对值之和为256
C．存在常数项
D．含x项的系数为－40
8．52 022除以4的余数是________．
9．已知(x＋1)n的二项式系数和为128，则Ceq \\al(0,n)－Ceq \\al(1,n)2＋Ceq \\al(2,n)4＋…＋Ceq \\al(n,n)(－2)n＝________．
10．若(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)的值为________．
11．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为( )
A．6B．8
C．12D．13
12．(1＋x＋x2＋x3)4的展开式中，奇次项系数的和是( )
A．64B．120
C．128D．256
13．已知(eq \r(3,3)＋eq \r(2)x)n(n∈N*，1≤n≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值________．
14．在(1＋x)5＋(1－2x)6的展开式中，所有项的系数和等于________，含x4的项的系数是________．
15．已知(x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－1))5的展开式中的常数项为13，则实数a的值为________，展开式中的各项系数之和为________．
16．(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Ceq \\al(k,n＋1)＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n)
C．由“n行所有数之和为2n”猜想：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n
D．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051
2025高考数学一轮复习-二项式定理的应用-专项训练【解析版】
1．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．160 B．192
C．184D．186
解析：B 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2x)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))r＝Ceq \\al(r,6)26－rx6－2r，当r＝1时，T2＝Ceq \\al(1,6)×25×x4＝192x4，含x4项的系数为192．故选B．
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中第3项是常数项，则n＝( )
A．6B．5
C．4D．3
解析：A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式的通项Tk＋1＝(－2)kCeq \\al(k,n)x，当k＝2时，T3＝T2＋1＝(－2)2Ceq \\al(2,n)x，则eq \f(n－6,2)＝0，解得n＝6．故选A．
3．(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( )
A．49B．56
C．59D．64
解析：C 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59．故选C．
4．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A．－80B．－40
C．40D．80
解析：D (2x－y)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D．
5．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,2)))n的展开式中所有项的系数和等于eq \f(1,256)，则展开式中项的系数的最大值是( )
A．eq \f(7,2)B．eq \f(35,8)
C．7D．70
解析：C 令x＝1得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))n＝eq \f(1,256)，∴n＝8，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,2)))8的展开式通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))r，要求展开式中项的系数的最大值，则r必为偶数，∴T1＝Ceq \\al(0,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))0＝1，T3＝Ceq \\al(2,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))2＝7x2，T5＝Ceq \\al(4,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))4＝eq \f(35,8)x4，T7＝Ceq \\al(6,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))6＝eq \f(7,16)x6，T9＝Ceq \\al(8,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))8＝eq \f(1,256)x8，故选C．
6．(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－ax2))n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．a＝1
B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大
D．展开式中的常数项为45
解析：BCD 由题意，Ceq \\al(2,n)＝eq \f(nn－1,2)＝45，所以n＝10(负值舍去)，又展开式中各项系数之和为1 024，所以(1－a)10＝1 024，因为a<2，所以a＝－1，故A错误；偶数项的二项式系数和为eq \f(1,2)×210＝eq \f(1,2)×1 024＝512，故B正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))＋x2))10展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))＋x2))10的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x－eq \f(1,2)(10－r)·x2r＝Ceq \\al(r,10)xeq \f(5r,2)－5，令eq \f(5r,2)－5＝0，解得r＝2，所以常数项为Ceq \\al(2,10)＝45，故D正确．故选B、C、D．
7．(多选)关于多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－2))4的展开式，下列结论中正确的有( )
A．各项系数之和为0
B．各项系数的绝对值之和为256
C．存在常数项
D．含x项的系数为－40
解析：ABC 选项A：令x＝1代入多项式，可得各项系数和为(1＋1－2)4＝0，故A正确；
选项B：取多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋2))4，令x＝1代入多项式可得(1＋1＋2)4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确；
选项C：多项式可化为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))－2))4，则展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4－r(－2)r，当4－r＝0,2,4即r＝4,2,0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4－r有常数项，且当r＝0时，常数项为Ceq \\al(0,4)Ceq \\al(2,4)＝6，当r＝2时，常数项为Ceq \\al(2,4)×2×(－2)2＝48，当r＝4时，常数项为(－2)4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋48＋16＝70，故C正确；
选项D：当r＝1时，展开式中含x的项为Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)x(－2)1＝－24x，当r＝3时，含x的项为Ceq \\al(3,4)x(－2)3＝－32x，故原多项式的展开式中含x的项的系数为－56，故D错误，故选A、B、C．
8．52 022除以4的余数是________．
解析：由52 022＝(1＋4)2 022＝Ceq \\al(0,2 022)＋Ceq \\al(1,2 022)·4＋Ceq \\al(2,2 022)·42＋…＋Ceq \\al(2 022,2 022)·42 022，∴52 022除以4的余数是Ceq \\al(0,2 022)＝1．
答案：1
9．已知(x＋1)n的二项式系数和为128，则Ceq \\al(0,n)－Ceq \\al(1,n)2＋Ceq \\al(2,n)4＋…＋Ceq \\al(n,n)(－2)n＝________．
解析：由已知可得2n＝128，解得n＝7，所以二项式(x＋1)7＝(1＋x)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)xr，令x＝－2，则二项式的展开式为Ceq \\al(0,7)(－2)0＋Ceq \\al(1,7)(－2)1＋Ceq \\al(2,7)(－2)2＋…＋Ceq \\al(7,7)(－2)7＝Ceq \\al(0,7)－Ceq \\al(1,7)2＋Ceq \\al(2,7)4＋…＋Ceq \\al(7,7)(－2)7＝(1－2)7＝－1．
答案：－1
10．若(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)的值为________．
解析：对于(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝eq \f(1,2)得，(1＋1)2 022＝a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)， 令x＝0得，(1＋0)2 022＝a0，所以a0＝1，所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝22 022－1．
答案：22 022－1
11．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为( )
A．6B．8
C．12D．13
解析：C 原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x的项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x ，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12．故选C．
12．(1＋x＋x2＋x3)4的展开式中，奇次项系数的和是( )
A．64B．120
C．128D．256
解析：C 设f(x)＝(1＋x＋x2＋x3)4，利用函数的奇偶性可知，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a12x12．
f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a12＝44，①
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝0，②
①－②，得2a1＋2a3＋…＋2a11＝44，∴奇次项系数的和为eq \f(44,2)＝128．
13．已知(eq \r(3,3)＋eq \r(2)x)n(n∈N*，1≤n≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值________．
解析：(eq \r(3,3)＋eq \r(2)x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)·(eq \r(3,3))n－r·(eq \r(2))rxr，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则eq \f(r,2)∈Z，且eq \f(n－r,3)∈Z．当n＝3时r＝0；n＝4时r＝4；n＝5时r＝2；n＝6时r＝0,6；n＝7时r＝4；n＝8时r＝2,8；n＝9时r＝0,6；n＝10时r＝4,10；n＝11时r＝2,8；n＝12时r＝0,6,12．所以n可取6,8,9,10,11中的任意一个值．
答案：6(n取6,8,9,10,11中任意一个值均可)
14．在(1＋x)5＋(1－2x)6的展开式中，所有项的系数和等于________，含x4的项的系数是________．
解析：(1＋x)5＋(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，将x＝1代入得(1＋1)5＋(1－2)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝25＋1＝33．而a4x4＝Ceq \\al(4,5)x4＋Ceq \\al(4,6)(－2x)4＝245x4．
答案：33 245
15．已知(x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－1))5的展开式中的常数项为13，则实数a的值为________，展开式中的各项系数之和为________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－1))5的展开式通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))5－r·(－1)r＝(－1)r·a5－rCeq \\al(r,5)·xr－5，则(x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－1))5的展开式通项为(－1)r·a5－rCeq \\al(r,5)·xr－4＋2(－1)r·a5－rCeq \\al(r,5)·xr－5，当r＝4时，(－1)ra5－rCeq \\al(r,5)xr－4产生常数项，当r＝5时，2(－1)ra5－rCeq \\al(r,5)xr－5产生常数项，则常数项为(－1)4·aCeq \\al(4,5)＋2×(－1)5Ceq \\al(5,5)＝13，即5a－2＝13，解得a＝3，令x＝1，可得展开式中的各项系数之和为(1＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,1)－1))5＝96．
答案：3 96
16．(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Ceq \\al(k,n＋1)＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n)
C．由“n行所有数之和为2n”猜想：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n
D．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051
解析：ABC 由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；115＝(10＋1)5＝Ceq \\al(0,5)105＋Ceq \\al(1,5)104＋Ceq \\al(2,5)103＋Ceq \\al(3,5)102＋Ceq \\al(4,5)101＋Ceq \\al(5,5)＝161 051，故D错误．