新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.1　集　合（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.1　集　合（含解析），共12页。学案主要包含了集合的含义与表示，集合的基本运算，集合的新定义问题等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
微思考
1．若一个集合A中有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？
提示 子集：2n，真子集：2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是( )
A．2eq \r(2)∉A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{0}⊆A
答案 AD
3．已知集合P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，若P＝Q，则a＝________.
答案 0
4.设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________.
答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为∁UA＝{x|x>2或x0}，B＝{x|x>1}，若AB，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴N＝∅或N＝M，
∴a＝0或a＝±1.
题型一 集合的含义与表示
1．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∉A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
答案 BCD
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；
令－11＝3k－1，得k＝－eq \f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B正确；
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；
令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．
2．已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3时，即a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，即a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
4．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2，a＋b，0))，则a2 021＋b2 021＝________.
答案 －1
解析 由已知得a≠0，则eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，
于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，
又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，
故a＝－1，
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
题型二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|02，
②当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)(八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)等于( )
A．∅ B．M C．N D．R
答案 B
解析 画Venn图即可，注意最后求并集．
(2)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋1}，若AB，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,4]
解析 A＝{x|(x＋1)(x－5)≤0}＝{x|－1≤x≤5}，
∵AB，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－5≤－1，,2m＋1>5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－5