高考数学二轮专题复习数列

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，，我们暂且称之为 “片段和”.
当是等差数列时，，，也构成等差数列， 公差为 .
当是等比数列时，，，也构成等比数列，公比为 .（当 为偶数时， ， 不然 、、 每一项为 0）
证明： 等差数列 ，
，
，
.
明显可以看出公差为 .
同理： 等比数列的公比为 .
典型例题
例1. （2021甲卷文科）记 为等比数列 的前 项和. 若，， 则 （ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
解： 因为 为等比数列 的前 项和， ，，
由等比数列的性质， 可知 ，，成等比数列，
所以，，成等比数列，
所以， 解得 .
故选 A.
例2. 已知等差数列 的前 项和为 ， 若 ， 则 等于（ ）
A. 70B. 90C. 130D. 160
解： 因为等差数列 的前 项和为，所以，， 也成等差数列， 故， 解得 ， 故选 B.
例3. （2021 秋会宁县校级期末）设等差数列 的前 项和为 ， 若，，则 （ ）
A. 20B. 16C. 12D. 8
解： 因为等差数列的前项和为，，，
由等差数列的性质得：，，， 成等差数列，
又，，
所以，
.故选A.
例4. 设等比数列 的前 项和为 ， 若 ， 则 （ ）
A. 2B. C. D. 3
解： 方法1 因为等比数列 的前 项和为 ，，
所以，解得，
所以. 故选 C.
方法2：， 不妨设 ，.
，，所以 ， 求得 ，所以，故选 C.
例5. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， 若 ，，则等于（ ）
A. 80B. 30C. 26D. 16
解： 方法 1： 由题意知等比数列 的公比 ， 且 ， 则有
， 得 ， 即 ， 解得 ， 则 ， 且代入①得 ， 所以 . 故选 B.
方法2 因为为等比数列，所以，，，成等比数列 ， 即 ， 求得 或 （因为为正项数列，所以舍去），求得 . 所以， 故选 B.
例6. （2021 秋海珠区期末）等比数列 中， 已知 ，，则 （ ）
A. 24B. C. D.
解： 等比数列 中， 由等比数列的性质得：，，成等比数列， 由 ，，得：. 故选 B.
例7. （2021 秋河西区期末）在等差数列 中， 为其前 项的和， 若，，则 .
解：在等差数列中,为其前项的和,,由等差数列的性质得:是等差数列,且首项为12,公差为.故答案为:144.
自我检测
1.已知是等差数列的前项和,且,则等于()
A.50
B.42
C.38
D.36
答案：等差数列的前项和为,则成等差数列,成等差数列,,解得.故选B.
2.(2021春-静海县期中)设等差数列的前项和为,若,则)
A.18
B.17
C.16
D.15
答案：设等差数列的前项和为成等差数列,即成等差数列,故,即,故选C.
3.(2021秋-昌江区校级期中)设等差数列前项和为,若,则等于()
A.12
B.13
C.14
D.15
答案：等差数列前项和为,由等差数列的性质得:成等差数列,成等差数列,,解得.故选D.
4.(2021-静宁县一模)设等差数列的前项和为,若,则)
A.18
B.36
C.54
D.72
答案：方法1:设等差数列的公差为,由题意可得,解得,故选D.
方法成等差数列,令即成等差数列,则,解得,故选D.
方法3:根据等差数列的性质,故选D
5.(2021春-雨花区校级月考)在等差数列中,前项和为,且,则）
A.
B.
C.2
D.3
答案：等差数列中,前项和为,且,设,则,也是等差数列,即成等差数列,故有,故有,则,故选C.
6.(2021秋-聊城期末)设是等差数列的前项和,若,则)
A.
B.
C.
D.
答案：方法1:设等差数列的公差为是等差数列的前项和,,整理得.故选A.
方法2:不妨令是等差数列,即,故选A.
7.(2021秋•河西区期末)已知等比数列的首项为,前项和为,若,则公比)
A.
B.
C.2
D.
答案：是等比数列,由数列前项和的定义及等比数列通项公式得,,解得,故选B.
8.(2021春-赤峰期末)若等比数列的前项和为,且,则
A.12
B.18
C.21
D.24
答案：等比数列中,,由等比数列的性质可知,成等比数列,即成等比数列,所以,则故选C.
9.设等比数列的前项和为,若,则()
A.
B.
C.
D.
答案：等比数列的前项和为,由等比数列的性质得(.故选D.
10.(2020-新课标I)设是等比数列,且,则)
A.12
B.24
C.30
D.32
答案：是等比数列,且,则,即,故选D.
11.(2021-湖北模拟)若等比数列的前项和为,且,则)
A.
B.
C.
D.3
答案：方法1:设等比数列的首项,公比,显然,则,即,则,故选B.
方法2:不妨令也是等比数列,即构成等比数列,,故选B.
12.(2021秋-海门市校级期中)设等比数列的前项和为,若,则等比数列的公比为
A.2
B.1或2
C.或2
D.或1或2
答案：方法1:设等比数列的公比为,当时,,不符题意;故,可得5,即为,解得,故选C.
方法,解得,故选C.
13.(2021秋-河东区期末)设等比数列的前项和为,若,则_________
解：设等比数列的公比为,则.故答案为.
14.(2021秋-烟台期末)已知为等比数列的前项和,,则的值为___________
解：方法1:根据题意,设等比数列的公比为,若,即,又由,则,变形可得,则,故答案为:40.
方法是等比数列,故答案为:40.