新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题12 利用导数研究不等式恒成立问题（2份打包，原卷版+解析版）

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(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．
eq \a\vs4\al( 可化为不等式恒成立问题的基本类型,类型1：函数fx在区间D上单调递增，只需f′x≥0.,类型2：函数fx在区间D上单调递减，只需f′x≤0.,类型3：∀x1，x2∈D，fx1＞gx2，只需fxmin＞gxmax.,类型4：∀x1∈D1，∃x2∈D2，fx1＞gx2，只需fxmin＞gxmin.,类型5：∀x1∈D1，∃x2∈D2，fx1＜gx2，只需fxmax＜gxmax.)
(1)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值
即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＜g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值(这里假设f(x)max，g(x)max存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．
典例1.已知函数f(x)＝ax＋ln x＋1，若对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】法一：构造函数法
设g(x)＝xe2x－ax－ln x－1(x＞0)，对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于g(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则只需g(x)min≥0即可．因为g′(x)＝(2x＋1)e2x－a－eq \f(1,x)，
令h(x)＝(2x＋1)e2x－a－eq \f(1,x)(x＞0)，则h′(x)＝4(x＋1)e2x＋eq \f(1,x2)＞0，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为当x―→0时，h(x)―→－∞，当x―→＋∞时，h(x)―→＋∞，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，满足(2x0＋1)e2x0－a－eq \f(1,x0)＝0，
所以a＝(2x0＋1)e2x0－eq \f(1,x0)，且g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(x0)＝x0e2x0－ax0－ln x0－1＝－2xeq \\al(2,0)e2x0－ln x0，
则由g(x)min≥0，得2xeq \\al(2,0)e2x0＋ln x0≤0，此时0＜x0＜1，e2x0≤－eq \f(ln x0,2x\\al(2,0))，
所以2x0＋ln(2x0)≤ln(－ln x0)＋(－ln x0)，设S(x)＝x＋ln x(x＞0)，则S′(x)＝1＋eq \f(1,x)＞0，
所以函数S(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为S(2x0)≤S(－ln x0)，所以2x0≤－ln x0即e2x0≤eq \f(1,x0)，
所以a＝(2x0＋1)e2x0－eq \f(1,x0)≤(2x0＋1)·eq \f(1,x0)－eq \f(1,x0)＝2，所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
法二：分离参数法
因为f(x)＝ax＋ln x＋1，所以对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于a≤e2x－eq \f(ln x＋1,x)在(0，＋∞)上恒成立．
令m(x)＝e2x－eq \f(ln x＋1,x)(x＞0)，则只需a≤m(x)min即可，则m′(x)＝eq \f(2x2e2x＋ln x,x2)，
再令g(x)＝2x2e2x＋ln x(x＞0)，则g′(x)＝4(x2＋x)e2x＋eq \f(1,x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(\r(e),8)－2ln 2＜0，g(1)＝2e2＞0，所以g(x)有唯一的零点x0，且eq \f(1,4)＜x0＜1，
所以当0＜x＜x0时，m′(x)＜0，当x＞x0时，m′(x)＞0，
所以m(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因为2xeq \\al(2,0)e2x0＋ln x0＝0，
所以ln 2＋2ln x0＋2x0＝ln(－ln x0)，即ln(2x0)＋2x0＝ln(－ln x0)＋(－ln x0)，
设s(x)＝ln x＋x(x＞0)，则s′(x)＝eq \f(1,x)＋1＞0，所以函数s(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为s(2x0)＝s(－ln x0)，所以2x0＝－ln x0，即e2x0＝eq \f(1,x0)，
所以m(x)≥m(x0)＝e2x0－eq \f(ln x0＋1,x0)＝eq \f(1,x0)－eq \f(ln x0,x0)－eq \f(1,x0)＝2，则有a≤2，
所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
典例2.设函数f(x)＝ln x＋eq \f(k,x)，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＜x1－x2恒成立，求k的取值范围．
【解析】(1)由条件得f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(k,x2)(x＞0)，∵曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，
∴f′(e)＝0，即eq \f(1,e)－eq \f(k,e2)＝0，得k＝e，∴f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(e,x2)＝eq \f(x－e,x2)(x＞0)，
由f′(x)＜0得0＜x＜e，由f′(x)＞0得x＞e，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
当x＝e时，f(x)取得极小值，且f(e)＝ln e＋eq \f(e,e)＝2.∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知，对任意的x1＞x2＞0，f(x1)－x1＜f(x2)－x2恒成立，
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋eq \f(k,x)－x(x＞0)，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(k,x2)－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即当x＞0时，k≥－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)恒成立，∴k≥eq \f(1,4).故k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).
典例3.已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝eq \f(x,ex)，对∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，
而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.
(2)“对∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于“当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，f′(x)max≤g(x)max”．
∵f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递增，∴f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.
而g′(x)＝eq \f(1－x,ex)，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,e).由8＋a≤eq \f(1,e)，得a≤eq \f(1,e)－8，
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e)－8)).
典例4.已知函数f(x)＝eq \f(3x－3,x＋1)，g(x)＝－x3＋eq \f(3,2)(a＋1)x2－3ax－1，其中a为常数．
(1)当a＝1时，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＜0，对于任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，g(x)＝－x3＋3x2－3x－1，
所以g′(x)＝－3x2＋6x－3，g′(0)＝－3，又因为g(0)＝－1，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝－3x，即3x＋y＋1＝0.
(2)f(x)＝eq \f(3x－3,x＋1)＝eq \f(3x＋1－6,x＋1)＝3－eq \f(6,x＋1)，当x∈[1,2]时，eq \f(1,x＋1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))，
所以－eq \f(6,x＋1)∈[－3，－2]，所以3－eq \f(6,x＋1)∈[0,1]，故f(x)在[1,2]上的值域为[0,1]．
由g(x)＝－x3＋eq \f(3,2)(a＋1)x2－3ax－1，可得g′(x)＝－3x2＋3(a＋1)x－3a＝－3(x－1)(x－a)．
因为a＜0，所以当x∈[1,2]时，g′(x)＜0，所以g(x)在[1,2]上单调递减，
故当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－1＋eq \f(3,2)(a＋1)－3a－1＝－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)，
g(x)min＝g(2)＝－8＋6(a＋1)－6a－1＝－3，即g(x)在[1,2]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)a－\f(1,2))).
因为对于任意的x1∈[1,2] ，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，
所以[0,1]⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)a－\f(1,2)))，所以－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)≥1，解得a≤－1，故a的取值范围为(－∞，－1]．
专项突破练
一、单选题
1．若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 取得极小值，也是最小值， SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:D.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ,对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,即为 SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,单调递减.因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选B
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选:D．
4．已知不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立可转化为对任意 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
6．若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （*）．
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则（*）式即为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，故只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，其满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
8．已知不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设，可知： SKIPIF 1 < 0 ，问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 递减；所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，g(x)= SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则整数m的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
原不等式恒成立可化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，由 SKIPIF 1 < 0 知，整数m的最小值为2.故选：A
二、多选题
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述： SKIPIF 1 < 0 .故选：ABC
11．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得实数 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值1，2，3，故选：ABC.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正数 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以正数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
6e与 SKIPIF 1 < 0 均在区间 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均不在区间 SKIPIF 1 < 0 内；故选：AB．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以a的值可以为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：AD.
三、填空题
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
故 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，也是最小值点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，需 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
15．当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【解析】根据题意，当 SKIPIF 1 < 0 时，分离参数 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数．
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围是_________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
17．已知不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切正数x都成立.则实数m的取值范围是___________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 对一切正数x都成立， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒大于零，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
18．设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 有极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 有极值，
则 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值、在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒大于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值、在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒大于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立。令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求m的取值范围．
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)依题意可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去.
综上可得： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）由已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
23．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
24．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，所以结合（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当a＝1时，求曲线在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求a的取值范围．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴h（x）在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
即a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立．
(2)由题得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．因为 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0
（i）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意．综上， SKIPIF 1 < 0 ．
27．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，求实数k的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0
故方程 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
28．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由题得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
29．设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1) SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值.
(2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围？
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是0
(2)因 SKIPIF 1 < 0 ，故得不等式 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 得方程 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
30．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减．
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调减函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
31．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，符合题意.
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
32．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上仅有一个零点，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上仅有一个零点，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上仅有一个零点．
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则只需 SKIPIF 1 < 0 即可，则 SKIPIF 1 < 0 ，
再令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ．所以实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
33．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间．
(2) SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
34．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ，e为自然对数的底数）．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论函数f（x）的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围．
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0
此时f（x）的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)法1由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一的实根，不妨设该实根为 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，g（x）单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
法2由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 对x>1恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意的x>1恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，g（t）单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
故 SKIPIF 1 < 0 ，故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
35．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由已知得， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．