高中4 单摆优秀导学案

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【学习目标】
1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型。
2.能通过理论推导，判定单摆小角度振动时的运动特点。
3.在探究单摆的周期与摆长的定量关系时，能分析数据、发现规律、形成合理的结论，能用已有的物理知识解释相关现象。
4. 知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关实际问题。
【学习重难点】
1.教学重点：理解单摆振动回复力的来源及做简谐运动的条件．
2.教学难点：知道单摆周期的决定因素，掌握单摆的周期公式．
【知识回顾】
一、简谐运动
1.定义1：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x ­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2.定义2:如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成__正比__，并且总是指向平衡位置__，质点的运动就是简谐运动。
二、简谐运动的能量
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断__变化__，动能也在不断__变化__。
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断__变化__，因而势能也在不断__变化__。
2．简谐振动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，__势能__最大，__动能__为零；
(2)在平衡位置处，__动能__最大，__势能__最小；
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能__守恒__(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
【自主预习】
一、单摆
1．单摆模型
(1)由细线和__小球__组成。
(2)细线的质量和小球相比__可以忽略__。
(3)小球的直径与线的长度相比__可以忽略__。
2．摆动特点：在摆角很小时，位移—时间图线是一条正弦曲线，说明单摆的运动是__简谐运动__。
二、单摆的回复力
1．回复力的来源
摆球的重力沿__圆弧切线__方向的分力。
2．回复力的特点
在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__正比__，方向总指向__平衡位置__，即F＝__－eq \f(mg,l)x__。
三、单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：__控制变量__法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量__无关__。
②振幅较小时周期与振幅__无关__。
③摆长越长，周期__越大__；摆长越短，周期__越小__。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用T＝__eq \f(t,N)__计算它的周期。
(2)摆长的测量：用__刻度尺__测出细线长度l0，用__游标卡尺__测出小球直径D，利用l＝__l0＋eq \f(D,2)__求出摆长。
(3)数据处理：改变__摆长__，测量不同__摆长__及对应周期，作出T－l，T－l2或T－eq \r(l)图像，得出结论。
3．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家__惠更斯__首先提出的。
(2)公式：T＝__2πeq \r(\f(l,g))__，即T与摆长l的二次方根成__正比__，与重力加速度g的二次方根成__反比__。
【课堂探究】
任务一 单摆的回复力
曾经有个广东人到瑞士旅游，看到摆钟很漂亮，就买了一个回家，但是回到广东之后发现摆钟计时不准了，而在瑞士买的时候是很准的。后来就打电话投诉，但经过鉴定摆钟的质量是没有问题的。那问题出现在哪里？同学们能根据所学知识进行原理分析吗？
请同学们观看摆钟内部结构，生活中你还能举出哪些类似的例子运动和钟摆相同？
这些运动有属于哪类运动，要想研究该类运动规律，可以怎么处理？
让学生阅读课文，并总结动量的概念。
1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
2.组成单摆实验器材有什么具体要求？
实验时要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
简化处理：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。
3.单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？想回答这个问题，我们先回答单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？
方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动;
方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。
（二）单摆的图像
（二）单摆的图像
我们如何设计实验进行验证图像检验单摆运动是简谐运动？
如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。
得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？
第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。
第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。
（三）单摆的回复力
思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？
（1）平衡位置：最低点O
（2）受力分析:如图
（3）回复力来源：重力沿切线方向的分力G2
法向： （向心力）
切向： Fx = G2 = mgsinθ（回复力）
单摆的回复力为重力沿圆弧切向的分力：F回=mgsinθ
θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等 sinθ≈θ
当θ很小时，x≈弧长= L•θ
F = mgsinθ
位移方向与回复力方向相反
，，
可见，在摆角很小（θ＜50）的情况下，单摆做简谐振动。
摆球运动到最低点O（平衡位置）时回复力是否为零？合力是否为零？
平衡位置：x=0， ，， 回复力为零
，合外力不为零
任务二 单摆的周期
（一）单摆的周期影响因素
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短；悬绳较长的秋千，周期较长；单摆的周期与哪些因素有关？
猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度
实验方法:控制变量法
实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？
结论：单摆的振动周期与其摆长有关。
实验：探究单摆的周期与摆长的关系
问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？
【设计实验】请根据如下问题设计实验。
1.如果让你设计一个实验，你认为应该首先注意什么问题？
2.你认为如何测量摆长才较为准确？
3.你认为如何测量周期才较为准确？
4.在探究周期和摆长关系的过程中，你认为如何更加形象直观的反映二者关系？
写出你的设计思路：
（1）实验器材的选择和实验条件控制
摆线要选择弹性小的轻质细线；
选择质量大、直径小的摆球；
振幅不要太大；竖直平面内摆动；实验中摆长不变
（2）摆长的测量
竖直悬挂测摆线长L，用游标卡尺测摆球直径d；
（3）累积法测周期
摆球通过平衡位置时开始（停止）计时
实验步骤
数据记录
数据处理方案
单摆周期
请同学们阅读课文，总结单摆周期规律：
1.惠更斯原理：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。
2.周期公式：
3.单摆周期跟振幅、摆球的质量无关
4.理解:
（1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。
（2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
（3）注意事项:
摆长L:悬点到球心的距离
适用条件:单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
等效摆长：
求出下列图的摆长：
根据以前所学知识，结合本节单摆周期规律，你能解释新课引入中广东商人购买的摆钟问题出在哪里了吗？
提示：两地的重力加速度g不同。
【自我测评】
1.（多选）关于单摆，下列说法中正确的是( )
A.单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα ，其中α 是摆线与竖直方向之间的夹角
B.单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力
C.单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零
D.单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关
【答案】A ; D
【详解】单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力mg 和摆线的拉力FT 两个力的作用，提供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα ，而不是重力和摆线拉力的合力，A 正确，B 错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，C 错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，D 正确。
2.将一个摆长为l 的单摆放在一个光滑的、倾角为α 的斜面上，其摆角为θ ，如图所示，下列说法正确的是( )
A.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinθsinα
B.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinθ
C.摆球经过平衡位置时合力为零
D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F'=mgsinα
【答案】A
【详解】摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧的切向方向的分力来提供，则回复力为F=mgsinθsinα ，故选项A 正确，B 错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C 错误；设摆球在平衡位置时速度为v ，由动能定理得mgsinα(l−lcsθ)=12mv2 ，由牛顿第二定律得F'−mgsinα=mv2l ，由以上两式可得线的拉力为F'=3mgsinα−2mgsinαcsθ ，故选项D 错误。
3.有一单摆，其摆长l=1.02m ，摆球的质量m=0.10kg ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次所用时间t=60.8s ，求：
（1）当地的重力加速度的大小；
（2）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少。
【答案】（1）9.79m/s2 （2）缩短 0.027m
【详解】（1）当单摆做简谐运动时，其周期公式T=2πlg ，由此可得g=4π2lT2 ，只要求出T 值代入即可
因为T=tn=60.830s≈2.027s
所以g=4π2lT2≈4×3.142×≈9.79m/s2
（2）秒摆的周期是2s ，设其摆长为l0 ，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有TT0=ll0
故有l0=T02lT2=22×≈0.993m
其摆长要缩短，缩短量
Δl=l−l0=1.02m−0.993m=0.027m
【学后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？全振动个数N
平均用时t
周期T
摆长L
30
41.41s
1.38s
51.002cm
30
37.53s
1.25s
40.802cm
30
33.30s
1.11s
31.102cm
30
27.61s
0.92s
21.002cm
30
19.81s
0.66s
10.902cm