新高考数学二轮复习强化讲与练技巧03 填空题解法与技巧（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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众所周知，高考的核心功能是“立德树人，服务选才，引导教学”，特别是在发挥“立德树人”功能方面，更加注重“五育”并举，它不但在选择题中有所体现，而且，在填空题中也屡屡出现相关背景的题目，值得我们关注.
1.弘扬传统文化，渗透爱国教育
【典例1】（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 SKIPIF 1 < 0 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 SKIPIF 1 < 0 ，则该三角形的面积 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【典例2】（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，小正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【典例3】（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 SKIPIF 1 < 0 就是二阶等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的前3项和是________．
【综合分析】
以我国古代数学家的研究成果为背景，设计相关计算问题，考查学生的发现问题解决问题的能力、数学运算能力，以及数学文化素养，同时，引导师生关注我国传统数学文化，将爱国主义教育融入其中，展示了数学之美，讴歌了中国古代劳动人民的勤劳与智慧，以及为人类文明作出的突出贡献．
2.弘扬民间艺术，渗透劳美教育
【典例4】（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 SKIPIF 1 < 0 的长方形纸，对折1次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 SKIPIF 1 < 0 次，那么 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 .
【典例5】（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【综合分析】
1.以学生研究民间剪纸艺术的折纸为背景设计试题，考查了数列的概念与数列的求和计算，突出了“德育为先，立德树人”的思想理念.考查学生的逻辑思维能力、数学建模及数学运算能力. 又对学生进行了“美育”及劳动教育.
2.以劳动教育为背景的考题，再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求．在考查几何知识、三角知识的同时，培养学生的数学应用意识，较好地发挥高考试题在培养劳动观念中的引导作用. 以劳动教育为背景的考题，多以社会实践、动手操作实验等为题材．
3.关注赛事规则，渗透体育教育
【典例6】（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【综合分析】
本题以学生喜欢的体育项目为背景设计试题，情境贴近实际，倡导学生关注体育赛事，积极参加体育锻炼，体现了数学抽象和数学运算等核心素养，凸显了“体育”教育功能．
4.立足社区生活，增强实践意识
【典例7】（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【典例8】（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 的大小评价在 SKIPIF 1 < 0 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 SKIPIF 1 < 0 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 SKIPIF 1 < 0 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 SKIPIF 1 < 0 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 SKIPIF 1 < 0 这三段时间中，在 SKIPIF 1 < 0 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【点评】
以社区服务为背景，引导学生关注社会实践.以污水治理为背景，结合函数图象理解平均变化率、瞬时变化率即导数的几何意义，要求学生具备敏锐的观察力、分析问题的能力，启迪学生理解数学语言，用数学眼光认识世界，用数学的思维思考世界，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养，有助于引导学生关注现实、增强环保意识．
方法技巧 典例分析
01 直接法
【核心提示】
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.．
【典例分析】
典例1.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第二象限交于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .设点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
典例2.（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
02 特例法
【核心提示】
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.特殊化法是“小题小做”的重要策略.
但要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
【典例分析】
典例3.（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 SKIPIF 1 < 0 _______．
① SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
典例4.（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，若过 SKIPIF 1 < 0 的直线和圆 SKIPIF 1 < 0 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 SKIPIF 1 < 0 轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
03 正反互推法
【核心提示】
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
【典例分析】
典例5.（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列命题：
①若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定不是奇函数；
②若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数或偶函数；
③若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 必为偶函数；
④若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上增函数，则 SKIPIF 1 < 0 必为奇函数；
其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．
典例6.（2022·北京·统考高考真题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 的第2项小于3； ② SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
③ SKIPIF 1 < 0 为递减数列； ④ SKIPIF 1 < 0 中存在小于 SKIPIF 1 < 0 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
04 数形结合法
【核心提示】
一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
【典例分析】
典例7.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 内接于半径为 SKIPIF 1 < 0 的球O，且 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为________．
典例8.（2021·北京·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰 有2个零点；
②存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有1个零点；
③存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点；
④存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
典例9.（2022·天津·统考高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数x，记 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
05 构造法
【核心提示】
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等具体的数学模型，从而转化为自己熟悉的问题，达到快速解题的目的.
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等.
【典例分析】
典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别是函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的极小值点和极大值点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围是____________．
典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则l的方程为___________．
典例12.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________；若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则k的最小值为__________.