新高考数学二轮复习对点题型第17讲数列的通项、求和及数列不等式的证明（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第17题
记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．
反思感悟 公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d(d为公差)或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
②等比数列：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，))其中q为公比．
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝eq \f(1,4)n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2 求和：Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xn＋\f(1,xn)))2(x≠0)．
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3 设F(x)＝eq \f(4x,4x＋2)，求Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋…＋Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021))).
反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
四、裂项相消法求和
例4 求和：eq \f(1,22－1)＋eq \f(1,32－1)＋eq \f(1,42－1)＋…＋eq \f(1,n2－1)，n≥2，n∈N*.
延伸探究
求和：eq \f(22,22－1)＋eq \f(32,32－1)＋eq \f(42,42－1)＋…＋eq \f(n2,n2－1)，n≥2，n∈N*.
反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).
③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
五、错位相减法求和
例5 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝eq \f(bn,an)，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
六、并项求和法求和
例6 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
三年真题
1．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数．
3．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若对于每个 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求d的取值范围．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
5．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，在Q中存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称Q为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列．
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 是否为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列？是否为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列？说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
7．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． SKIPIF 1 < 0 是公比大于0的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ．
（I）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（II）记 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（ii）证明 SKIPIF 1 < 0
9．记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值．
10．设p为实数.若无穷数列 SKIPIF 1 < 0 满足如下三个性质，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 数列：
① SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如果数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 SKIPIF 1 < 0 是否可能为 SKIPIF 1 < 0 数列？说明理由；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 数列，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .是否存在 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
11．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
13．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列;
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列：②数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；③ SKIPIF 1 < 0 ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
15．设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
三年模拟
一、单选题
1．已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4093B．4094C．4095D．4096
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
4．设 SKIPIF 1 < 0 是由正整数组成且项数为 SKIPIF 1 < 0 的增数列，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于 SKIPIF 1 < 0 中任意序数不同的两项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在剩下的项中总存在序数不同的两项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
5．已知项数为m的有限数列 SKIPIF 1 < 0 是1，2，3，…，m的一个排列.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则所有可能的m值之和为______.
6．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于__________.
8．已知公差为 SKIPIF 1 < 0 且各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数n的最小值是______．
三、解答题
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求证: SKIPIF 1 < 0 .
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的最大整数 SKIPIF 1 < 0 .
12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 SKIPIF 1 < 0 ，每年年底把除运营成本 SKIPIF 1 < 0 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 万元）
13．若函数 SKIPIF 1 < 0 是其定义域内的区间 SKIPIF 1 < 0 上的严格增函数，而 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的严格减函数，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的“弱增函数”.若数列 SKIPIF 1 < 0 是严格增数列，而 SKIPIF 1 < 0 是严格减数列，则称 SKIPIF 1 < 0 是“弱增数列”.
(1)判断函数 SKIPIF 1 < 0 是否为 SKIPIF 1 < 0 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）；
(2)已知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于坐标原点对称，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的“弱增函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 是正整数，常数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在正整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 所有可能的值.
14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 中的第 SKIPIF 1 < 0 项是数列 SKIPIF 1 < 0 中的第 SKIPIF 1 < 0 项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
16．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 目 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .