新高考数学一轮复习讲义第6章 §6.3　等比数列（含解析）

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知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)易知q≠1，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝9a1q，,\f(a11－q3,1－q)＝13，,q>0，))
解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2).
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝eq \f(1,2)，
此时Sn＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×3n，
则eq \f(Sn＋1＋\f(1,2),Sn＋\f(1,2))＝eq \f(\f(1,2)×3n＋1,\f(1,2)×3n)＝3，
故存在常数λ＝eq \f(1,2)，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)为首项，3为公比的等比数列．
题型三 等比数列的性质
例3 (1)若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023等于( )
A.eq \f(2 024,3) B．1 011
C.eq \f(2 023,2) D．1 012
答案 C
解析 由题意得a5a2 019＝3，
根据等比数列性质知，
a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
于是a1 012＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023
＝lg3(a1a2a3…a2 023)
SKIPIF 1 < 0
(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
教师备选
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝__________.
答案 eq \f(7,3)
解析 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
∴eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(S9－S6,S6－S3)，
又由已知得S6＝3S3，
∴S9－S6＝4S3，
∴S9＝7S3，
∴eq \f(S9,S6)＝eq \f(7,3).
2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
答案 2
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))
所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于( )
A．5 B．10 C．15 D．－20
答案 C
解析 易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列．设{an}的公比为q，则eq \f(S20－S10,S10)＝q10>0，故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…均大于0.
故(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
即(S20－1)2＝1·(7－S20)⇒Seq \\al(2,20)－S20－6＝0.
因为S20>0，所以S20＝3.
又(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，
所以(7－3)2＝(3－1)(S40－7)，故S40＝15.
(2)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 A
解析 ∵a1a2…a8＝16，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a8)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,a7)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)＋\f(1,a6)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a4)＋\f(1,a5)))
＝eq \f(1,2)(a1＋a8)＋eq \f(1,2)(a2＋a7)＋eq \f(1,2)(a3＋a6)＋eq \f(1,2)(a4＋a5)
＝eq \f(1,2)(a1＋a2＋…＋a8)＝2.
课时精练
1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于( )
A.eq \f(64,3) B．－eq \f(64,3)
C.eq \f(32,3) D．－eq \f(32,3)
答案 A
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝q3＝8，
所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，
所以a1＝eq \f(1,3)，
所以a7＝a1×q6＝eq \f(1,3)×26＝eq \f(64,3).
2．已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为( )
A．2 B．4 C.eq \f(9,2) D．6
答案 B
解析 根据等比数列的性质得a3a5＝aeq \\al(2,4)，
∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.
又∵a1＝1，a1a7＝aeq \\al(2,4)＝4，∴a7＝4.
3．(2022·开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9)
答案 B
解析 由等比数列前n项和的性质知，
Sn＝32n－1＋r＝eq \f(1,3)×9n＋r，
∴r＝－eq \f(1,3).
4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
答案 C
解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{an}，其中q＝eq \f(1,2)，
因为S6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，
解得a1＝192，
所以a4＝a1·q3＝192×eq \f(1,8)＝24.
5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( )
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为eq \f(1,q)的等比数列
答案 AD
解析 对于A，由eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(1,q)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为eq \f(1,q)的等比数列．
6．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2))
答案 ABD
解析 由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即eq \f(an＋1,an)＝3(n≥2)，
又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以eq \f(a2,a1)＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2.))
当n≥2时，Sn＝eq \f(an＋1,2)＝eq \f(2·3n－1,2)＝3n－1，
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，
又eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(3n,3n－1)＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________.
答案 1
解析 由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，
又S6＝S3＋q3S3，
得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.
由S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(a11－8,1－2)＝7，
得a1＝1.
8．已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝eq \f(1,3)，则a4＝________.
答案 3 81
解析 由{an}是等比数列，
得a3a5a7a9a11＝aeq \\al(5,7)＝243，
故a7＝3，a4＝eq \f(a7,q3)＝81.
9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.
(1)求实数p的值及数列{an}的通项公式；
(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n项和为Tn，求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Tn＋\f(1,6)))为等比数列．
(1)解 Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝na1＋n(n－1)
＝n2＋(a1－1)n，
又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，
所以p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)证明 因为b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，
所以q＝3，
所以bn＝b3·qn－3＝3n－2，
所以b1＝eq \f(1,3)，
所以Tn＝eq \f(\f(1,3)1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,6)，
所以Tn＋eq \f(1,6)＝eq \f(3n,6)，
又T1＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(Tn＋\f(1,6),Tn－1＋\f(1,6))＝eq \f(\f(3n,6),\f(3n－1,6))＝3(n≥2)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Tn＋\f(1,6)))是以eq \f(1,2)为首项，3为公比的等比数列．
10．(2022·威海模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1.设bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}为等比数列；
(2)设cn＝|bn－100|，Tn为数列{cn}的前n项和．求T10.
(1)证明 由Sn＋1＝4an＋1，
得Sn＝4an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
所以eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(an＋1－2an,an－2an－1)
＝eq \f(2an－2an－1,an－2an－1)
＝2(n≥2)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，
故a2＝4，a2－2a1＝2＝b1≠0，
所以数列{bn}为首项与公比均为2的等比数列．
(2)解 由(1)可得bn＝2·2n－1＝2n，
所以cn＝|2n－100|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100－2n，n≤6，,2n－100，n>6，))
所以T10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200－eq \f(21－26,1－2)＋27＋28＋29＋210
＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.
11．(多选)(2022·滨州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是( )
A．数列{an＋1＋an}为等比数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝eq \f(2n＋1＋－1n,3)
D．S20＝eq \f(2,3)(410－1)
答案 ABD
解析 因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，
所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝2≠0，
所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；
同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，
所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
若an＝eq \f(2n＋1＋－1n,3)，则a2＝eq \f(23＋－12,3)＝3，
但a2＝1≠3，C错误；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝eq \f(21－410,1－4)＝eq \f(2,3)(410－1)，D正确．
12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)1，eq \f(a7－1,a8－1)1,0