新高考数学二轮提升练专题20 数列综合问题的探究（2份打包，原卷版+解析版）

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1、【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
2、【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为这个序列的周期.对于周期为 SKIPIF 1 < 0 的0-1序列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 SKIPIF 1 < 0 的序列是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，前16项和为540，则 SKIPIF 1 < 0 ______________.
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
5、【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6、【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
题组一 等差、等比数列的含参问题
1-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
1-2、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列；数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若对于 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数m的取值范围.
1-3、（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数m．
1-4、（2022·湖北襄阳·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在，求实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，如果不存在，请说明理由．
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
2-2、（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且 SKIPIF 1 < 0 中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.
2-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
题组三 等差、等比数列定义型问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 为常数)，则称 SKIPIF 1 < 0 为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等方差数列
B．若数列 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
D．若等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为2，公方差为2，若将 SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
3-2、（2022·山东德州·高三期末）定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，如果对于任意给定的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍是等比数列，则称 SKIPIF 1 < 0 为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3-3、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”.
(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；
（I）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
1、（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于一切正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022B．1023C．2046D．2047
4、（2022·河北保定·高三期末）对于正整数 SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的数目.函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增
D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和恒小于4
5、（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
6、（2022·广东佛山·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及相应 SKIPIF 1 < 0 的值.
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
8、（2022·江苏通州·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ＝2，2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.
9、（2022·江苏海安·高三期末）已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则{bn}是等比数列；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．第一列
第二列
第三列
第一行
1
SKIPIF 1 < 0
16
第二行
2
7
SKIPIF 1 < 0
第三行
5
12
8