黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则复数在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．将函数的图象向右平移个单位后,图象经过点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4．下列函数中,值域为的是( )
A.B.C.D.
5．函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
6．若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率、、,则、、的一种可能取值依次为( )
A.B.C.D.
7．数列满足,,若,且数列的前n项和为,则( )
A.64B.80C.-64D.-80
8．已知,若实数,则在区间上的最大值的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
10．奇函数与偶函数的定义域均为R,且满足,则下列判断正确的是( )
A.B.
C.在R上单调递增D.的值域为
11．如图,在棱长为2的正方体中,Q为线段的中点,P为线段上的动点（含端点）,则下列结论正确的有( )
A.P为中点时,过D,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B.存在点P,使得平面平面
C.的最小值为
D.三棱锥外接球表面积最大值为
12．如图,双曲线的光学性质:,是双曲线的左、右焦点,从发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经点P反射后,反射光线的反向延长线过;当P异于双曲线顶点时,双曲线在点P处的切线PT平分.若双曲线C的方程为,则下列结论正确的是( )
A.若射线n所在直线的斜率为k,则
B.当时,
C.当时,
D.若点T的坐标为,直线PT与C相切,则
三、填空题
13．在二项式的展开式中,有理项的个数为_______________.
14．在中,已知,,,则在方向上的投影向量的模为_____________.
15．已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是_________________.
16．在数学史上,平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系xOy中,动点到两个定点,的距离之积等于1,化简得曲线. 则OP的最大值为________________.
四、解答题
17．如图,在海岸线EF一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC,该曲线段是函数,的图象,图象的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD,且.游乐场的后部分边界是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FGBC的函数表达式;
(2)如图,在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ,平行四边形的一边在海岸线EF上,一边在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,且,求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.
18．记数列的前n项和,对任意正整数n,有 ,且 .
(1)求数列的通项公式;
(2)对所有正整数m,若,则在和两项中插入,由此得到一个新数列,求的前91项和.
19．为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求,提高市民“反诈”意识,某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛,共有10000名市民参与了知识竞赛,现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人,得分统计如下：
(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率;
(2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布,试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）;
(3)为了进一步增强市民“反诈”意识,得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动,规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分;
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量,每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格）,规定答第k题时所需的分数为;
③每答对一题得2分,答错得0分;
④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.
已知市民甲答对每道题的概率均为0.6,且每题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他获得的平均话费最多？
参考数据：若,则,,
20．如图,在四边形ABCD中（如图1）,,,,E,F分别是边BD,CD上的点,将沿BC翻折,将沿EF翻折,使得点D与点A重合（记为点P）,且平面平面BCFE（如图2）
(1)求证：;
(2)求二面角余弦值.
21．已知椭圆的离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线交于点N.求证：.
22．设函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)当存在小于零的极小值时,若,且,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：,,
.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为,
所以,
因此复数在复平面内所对应的点在第二象限.
故选：B.
3．答案：B
解析：将函数的图象向右平移个单位长度,
可得,
图象过点,
,
即,或,,
即或,,
,
的最小值为.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为,且,所以或,A错误;
因为,所以,B错误;
因为,所以,C错误;
因为,所以,即的值域为,D正确.
故选：D.
5．答案：D
解析：,即,
解得,
即的定义域为;
又在单调递减,在单调递增,在为单调增函数,
故在单调递减,在单调递增.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意可知,,,,
设
,
所以,,且,故满足条件的为C选项.
故选：C.
7．答案：C
解析：数列满足,,
则,
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列,
即有,即为,
则,
则
.
故选：C.
8．答案：C
解析：作出函数的图象如图：
因为,
因为,所以,
表示函数上的点到直线的距离,
由图可知,当时,取得最大值,最大值为;
当时,,
结合图象可知,在区间上总有,
所以,此时的最大值为;
当时,由图可知,,
且.
综上,在区间上的最大值的取值范围为.
故选：C
9．答案：BCD
解析：对A：,,
由不能得出,例如,,A错误;
对B：,
,即,B正确;
对C： ,则,
,C正确;
对D：作差得：,
,,则,
,即,D正确.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：因为为奇函数,为偶函数,所以,
因为①,所以,即②,
所以由①②解得,故B正确;
,故A错误;
在R上单调递增,在R上单调递减,则在R上单调递增,故C正确;
因为,当且仅当时取等号,
所以的值域为,所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：A选项：连接,,由三角形中位线性质和正方体性质可知,,且,所以过D,P,Q三点的截面为梯形,
易知,,
作,则,,
所以梯形的面积,A正确;

B选项：若存在点P,使得平面平面,则由平面平面,
平面平面可知,显然DQ,不平行,故B错误;
C选项：将侧面展开如图,显然当Q、P、D三点共线时,取得最小值,最小值为,C错误;

D选项：由题知,,,两两垂直,所以三棱锥外接球,
即为以,,为共顶点的三条棱的长方体的外接球,记其半径为R,
则,
显然,当点P与C重合时,R取得最大值,此时外接球表面积取得最大值,D正确.
故选：AD.
12．答案：ABD
解析：因为双曲线C的方程为,所以,,,渐近线方程为.
对于A,因为从发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经点P反射后,反射光线的反向延长线过.
所以直线与双曲线有两个交点,所以,故A正确;
对于B,由双曲线的定义,结合图形,可得,又,
所以,
因为,
所以,解得,故B正确;
对于C,设,在中,
由余弦定理得,
又,,
所以,
,故C错误;
对于D,因为PT平分,由角平分线定理知,,
所以,又,所以,解得,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：3
解析：,
所以当,时,为有理项,因此有理项的个数为3,
故答案为：3.
14．答案：
解析：在中
,
即
所以,
故
,
即,
故
解得或
A,B为直角的内角
,
故,
又,
故在方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意可知在上有解,
即在上有解,
画出与的函数图象,则两图象在上有交点,
显然,当时,即两图象在上一定有交点,
故答案为：
16．答案：
解析：因为,所以,
,两边平方得,即,
解得,
故,
则,的最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）,;
（2）时,平行四边形面积最大值为.
（1）由已知条件,得,
又,,.
又当时,有,.
曲线段FGBC的解析式为,.
（2）如图,,,,,
作轴于点,在中,,
在中,,
.
,.
当时,即时,平行四边形面积最大值为.
18．答案：(1)
(2)11563
解析：（1）由,则,两式相减得：,
整理得：,即时,,
所以时, ,
又时,,得,也满足上式.
故.
（2）由,所以,
又,所以前91项中有87项来自.
所以故
.
19．答案：(1)
(2)1587
(3)或
解析：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,基本事件总数为,
设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A,
则事件A包含的基本事件的个数为,因为每个基本事件出现的可能性都相等,
所以,
即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为;
（2）因为,所以,
故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为;
（3）以随机变量表示甲答对的题数,
则且,
记甲答完n题所加的分数为随机变量X,
则,所以,
依题意为了获取答n道题的资格,
甲需要的分数为：,
设甲答完n题后的最终得分为,
则
.
由于,所以当或时,取最大值.
即当他的答题数量为或时,他获得的平均话费最多.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：平面平面,
平面平面BCFE,又平面BCFE,且
平面PBC,且平面PBC, .
（2）取BC中点O,连接PO, , ,
平面平面,平面平面BCFE,平面PBC,
平面BCFE,
以C为原点,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设,则,,,设,
由得,解得,所以,
设,由得,解得,
,则,,
设平面PEF的一个法向量,
,令,得,
平面BCP,所以平面BCP的一个法向量,
设二面角的平面角为,易知为锐角,
则,
二面角的余弦值为.
21．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）依题意,得,则,
又A,C分别为椭圆上下顶点,,所以,即,
所以,即,则,
所以椭圆E的方程为.
（2）因为椭圆E的方程为,所以,,,
因为P为第一象限E上的动点,设,则,
易得,则直线BC的方程为,
,则直线PD的方程为,
联立,解得,即,
而,则直线PA的方程为,
令,则,解得,即,
又,则,,
所以
,
又,即,
显然,MN与CD不重合,所以.
22．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）由
①当时,在上单调递增.
在上单调递减.
②当时,令
（i）当时,,
当时,,此时;
当时,,,此时;
当时,,,此时;
当时,恒成立,故在R上单调递增
（ii）当时,或,,
故在和上单调递增,在上单调递减.
(iii) 当时,或,,故在上单调递增,在和上单调递减.
综上所述：当时,在上单调递增.在上单调递减.
当时,若,在R上单调递增;
若,在和上单调递增,在上单调递减;
若,在上单调递增,在和上单调递减.
（2）当存在小于零的极小值时,满足题意,此时在上单调递增;
当时,极小值为,
令,则,
再令,该函数在上单调递增,在单调递减,
所以,所以,单调递减,
又,所以,,在上单调递增;
所以当存在小于零的极小值时,在上单调递增,
令
令
在上单调递增,而
在上单调递增

从而
在上单调递减
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6