新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第27讲 正弦定理、余弦定理及应用（2份打包，原卷版+解析版）

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【基础知识全通关】
一、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： SKIPIF 1 < 0
【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径）；
（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．
（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
二、余弦定理
在△ABC中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
变形为：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它 = 3 \* GB3 ③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用.
三、三角形的面积公式
(1) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的高
(2) SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
四、三角形形状的判定方法
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，
解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cs(A+B)=－csC；tan(A+B)=－tanC； SKIPIF 1 < 0 ；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理
常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角；
（2）由正余弦定理将角转化为边.
【微点拨】 = 1 \* GB3 ①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来. = 2 \* GB3 ②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.
五、解三角形应用的分类
（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；
（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；
（3）角度问题；
（4）面积问题.
【考点研习一点通】
考点01运用正余弦定理解三角形
例1、在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值：
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】4
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内角，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：4．
【变式1-2】在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．1B．2 C．3D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理 SKIPIF 1 < 0 将各值代入
得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)选A.
考点02利用正余弦定理判定三角形形状
例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccsA，故csA＝－eq \f(1,2)，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴eq \f(3,4)＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝eq \f(1,2)，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．
【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】 (1)B (2)C
【解析】
(1)法一：因为bcs C＋ccs B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcs C＋ccs B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(2a2,2a)＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
所以△ABC是等边三角形．
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考点03 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcsC＋ccsB＝2acsA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \r(3)，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcsC＋ccsB＝2acsA，
得sinBcsC＋sinCcsB＝2sinAcsA，
即sinA＝2sinAcsA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以csA＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,3)．
(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcsC＋ccsB＝2acsA，
得beq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝2aeq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)．
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)．
(2) 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝cbcsA＝eq \r(3)，得bc＝2eq \r(3)，
所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×sin60°＝ SKIPIF 1 < 0
【变式】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq \r(3)，cs2A－cs2B＝eq \r(3)sin Acs A－eq \r(3)sin Bcs B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝eq \f(4,5)，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) 由题意得 eq \f(1＋cs2A,2)－eq \f(1＋cs2B,2)＝eq \f(\r(3),2)sin 2A－eq \f(\r(3),2)sin 2B，
即eq \f(\r(3),2)sin 2A－eq \f(1,2)cs 2A＝eq \f(\r(3),2)sin 2B－eq \f(1,2)cs 2B，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))．
由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－eq \f(π,6)＋2B－eq \f(π,6)＝π，即A＋B＝eq \f(2π,3)，所以C＝eq \f(π,3)．
(2) 由c＝eq \r(3)，sin A＝eq \f(4,5)，eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，得a＝eq \f(8,5)．
由a故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(4＋3\r(3),10)，
所以，△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(8\r(3)＋18,25)．
考点04 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
例4、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离． 现测量人员在相距eq \r(3) km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的eq \f(4,3)倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？
【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝eq \r(3) km．
在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．
sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)．
由正弦定理，BC＝eq \f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)．
cs75°＝cs(45°＋30°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)．
在△ABC中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs∠BCA
＝eq \r(3)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq \s\up12(2)－2eq \r(3)·eq \f(\r(6)＋\r(2),2)·cs75°＝5 ．
所以AB＝eq \r(5)，故施工单位应该准备电线长为eq \f(4,3)eq \r(5) km
【变式4-1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(eq \r(3)－1) nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2 nmile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【解析】： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．
设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，
∵ AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC
＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs120°＝6，
∴ BC＝eq \r(6)．
∵ cs∠CBA＝eq \f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)＝eq \f(6＋（\r(3)－1）2－4,2\r(6)·（\r(3)－1）)＝eq \f(\r(2),2)，
∴ ∠CBA＝45°，即B在C正东．
∵ ∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴ ∠BCD＝30°．
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
考点05 正余弦定理在三角形中的运用
例5、如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
A
B
C
D
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【解析】
：（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式5-1】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq \r(10)，∠CAD＝eq \f(π,4)，tan∠ADC＝－2.
(1) 求CD的长；
(2) 求△BCD的面积．
【解析】：
(1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠ADC＝－eq \f(\r(5),5).
所以sin∠ACD＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－∠ADC－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠ADC＋\f(π,4)))
＝sin∠ADC·cseq \f(π,4)＋cs∠ADC·sineq \f(π,4)
＝eq \f(\r(10),10)，(6分)
在△ADC中，由正弦定理得CD＝eq \f(AD·sin∠DAC,sin∠ACD)＝eq \r(5)
因为AD∥BC, 所以cs∠BCD＝－cs∠ADC＝eq \f(\r(5),5)，sin∠BCD＝sin∠ADC＝eq \f(2\r(5),5)
在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs∠BCD，
得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7, (12分)
所以S△BCD＝eq \f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq \f(1,2)×7×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＝7.
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq \r(65)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝50.
(1) 求cs∠BAC的值；
(2) 求sin∠CAD的值；
(3) 求△BAD的面积．
【解析】：
(1) 因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A\(B,\s\up6(→))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A\(C,\s\up6(→))))cs∠BAC，
所以cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A\(B,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A\(C,\s\up6(→)))))＝eq \f(50,13×10)＝eq \f(5,13).
(2) 在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝eq \r(65).
由余弦定理，得cs∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq \f(102＋52－\r(65)2,2×10×5)＝eq \f(3,5).
因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝eq \r(1－cs2∠CAD)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5).
(3) 由(1)知，cs∠BAC＝eq \f(5,13).
因为∠BAC∈(0，π)，
所以sin∠BAC＝eq \r(1－cs2∠BAC)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13).
从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin∠BACcs∠CAD＋cs∠BACsin∠CAD
＝eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(56,65).
所以S△BAD＝eq \f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＝eq \f(1,2)×13×5×eq \f(56,65)
【考点易错】
1. 如图，在△ABC中，∠B＝ SKIPIF 1 < 0 ，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cs∠ADC＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ; (2) 7
【点拨】（1）在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sin∠BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得BD，AC的长。
【解析】(1)在△ABC中，∵cs∠ADC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴sin∠ADC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC•csB－cs∠ADC•sinB
＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)在△ABD中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在△ABC中，
由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB•BCcsB＝82＋52－2×8×5× SKIPIF 1 < 0 ＝49，
即AC＝7．
【总结】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．
(1)求cs B的值；
(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值．
【点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sin A sin C”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.
【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解法一：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故 SKIPIF 1 < 0 ．
【总结】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求sinC的值；
（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．
【点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出csC的值.
【解析】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得c＝4．
由 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ．
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【总结】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.
4. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 SKIPIF 1 < 0 ＝2，csB＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cs(B－C)的值．
【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ) SKIPIF 1 < 0 ．
【点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】(Ⅰ)∵ SKIPIF 1 < 0 ＝2，csB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴c•acsB＝2，即ac＝6①，
∵b＝3，
∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accsB，即9＝a2＋c2－4，
∴a2＋c2＝13②，
联立①②得：a＝3，c＝2；
(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得：sinC＝ SKIPIF 1 < 0 sinB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵a＝b＞c，∴C为锐角，
∴csC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则cs(B－C)＝csBcsC＋sinBsinC＝ SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ．
【总结】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.
5. SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0
（ = 1 \* ROMAN I）求C；
（ = 2 \* ROMAN II）若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【答案】
（ = 1 \* ROMAN I）由已知及正余弦定理得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ．
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（ = 2 \* ROMAN II）由已知， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由已知及余弦定理得， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 从而 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 。
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证: SKIPIF 1 < 0
(2)若,求△ABC的面积.
【解析】(1)证明:由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得:
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0
整理得: SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)由(1)及 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以三角形ABC的面积
SKIPIF 1 < 0
【总结】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
7.设锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的大小；（2）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B的正弦值，进而求B；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由此有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
【总结】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
【巩固提升】
1、在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，则csB=
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
2. SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
3.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，沿点A向北偏东 SKIPIF 1 < 0 前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则“泉标”的高度为（ ）
A．50 mB．100 mC．120 mD．150 m
【答案】A
【解析】
如图, SKIPIF 1 < 0 为“泉标”高度,设高为 SKIPIF 1 < 0 米，由题意, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 米, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
．
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ，, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去),
故选：B.
4. SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
5、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40 m，BC＝CD＝20 m，则该四边形ABCD的面积等于__________m2．
【答案】：500eq \r(3)
【解析】：连结BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，
∴ ∠CBD＝30°，BD＝20eq \r(3)，S△BCD＝eq \f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq \r(3)．
在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40，BD＝20eq \r(3)，
∴ S△ABD＝eq \f(1,2)AB·BD＝eq \f(1,2)×40×20eq \r(3)＝400eq \r(3)，
∴ 四边形ABCD的面积是500eq \r(3) m2．
6、 如图，一栋建筑物的高为(30－10eq \r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m．
【答案】：60
【解析】：如图，在Rt△ABM中，
AM＝eq \f(AB,sin∠AMB)＝eq \f(30－10\r(3),sin 15°)＝eq \f(30－10\r(3),sin(45°－30°))＝eq \f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq \r(6) m．
又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，
又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°．
在△AMC中，由正弦定理得eq \f(MC,sin 45°)＝eq \f(20\r(6),sin 30°)，解得MC＝40eq \r(3)．
在Rt△CMD中，CD＝40eq \r(3)×sin 60°＝60 m，故通信塔CD的高为60 m．
7、 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（I）求B；
（II）若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】
（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
8、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10eq \r(2)海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
(1) 求乙船每小时航行多少海里？
(2) 在C处北偏西30°方向且与C相距eq \f(8\r(3),3)海里处有一个暗礁E，暗礁E周围eq \r(2)海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由．
【解析】：：(1) 如图，连结AD，由题知CD＝10，AC＝eq \f(20,60)×30＝10，∠ACD＝60°，
∴ △ACD是等边三角形．
∴ AD＝10．
又∠DAB＝45°，在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcs45°＝100，
∴ BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．
答：乙船的速度为每小时30海里．
(2) 在海平面内，以B点为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示平面直角坐标系．危险区域在以E为圆心，半径为r＝eq \r(2)的圆内．
∵ ∠DAB＝∠DBA＝45°，易知直线BD的方程为y＝eq \r(3)x，
E的横坐标为ABcs15°－CEsin30°，纵坐标为ABsin15°＋CEcs30°＋AC，
求得A(5eq \r(3)＋5，5eq \r(3)－5)，C(5eq \r(3)＋5，5eq \r(3)＋5)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(11\r(3),3)，9＋5\r(3)))．
点E到直线BD的距离为
D1＝eq \f(|5\r(3)＋11－9－5\r(3)|,2)＝1点E到直线AC的距离为D2＝eq \f(4\r(3),3)>eq \r(2)，故甲船没有危险．
以E为圆心，半径为eq \r(2)的圆截直线BD所得的弦长分别为l＝2eq \r(r2－deq \\al(2,1))＝2，
乙船遭遇危险持续时间为t＝eq \f(2,30)＝eq \f(1,15)(小时)．
9、在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，它的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由 SKIPIF 1 < 0 和余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ．
由① SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
方案二：选条件②．
由 SKIPIF 1 < 0 和余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由② SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
方案三：选条件③．
由 SKIPIF 1 < 0 和余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ．
由③ SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .