高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理习题，共16页。试卷主要包含了若4=a+2b,则a+b=，5+54+103+102+5=等内容，欢迎下载使用。

题组一 二项式定理及其应用
1.若(1+2)4=a+2b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129
C.47 D.0
4.(2022黑龙江哈尔滨三中月考)已知Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13+Cnn=212,则n= .
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.(2022湖南宁乡一中月考)在3x-1x26的展开式中,中间一项的二项式系数为( )
A.20 B.-20
C.15 D.-15
6.(2022湖南岳阳期末)已知x-ax5的展开式中含1x的项的系数为-80,则实数a=( )
A.-2 B.2
C.-2 D.2
7.(2022北京人大附中期末)已知2x-1xn(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为( )
A.14 B.1 0082 017
C.240 D.-240
8.(2022安徽六安期中)x-3x2(1+2x)6的展开式中含x3的项的系数为 .
9.已知在3x-123xn的展开式中,第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
题组三 二项式系数和及项的系数和
10.(2022天津和平期中)若3x+1xn的展开式中各二项式系数之和为256,则其展开式中各有理项系数之和为( )
A.85 B.84
C.57 D.56
11.(2022江西丰城九中期中)已知3x+xn的展开式中各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M-N=992,则展开式中含x2的项的系数为( )
A.90 B.180
C.360 D.540
12.(2020广东江门一中期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 … 45 10 1
题组四 二项式系数的性质
13.(多选)(2022湖南怀化期末)已知x+axn(a>0)的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中各偶数项的二项式系数和为512
B.展开式中第5项和第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x4的项的系数为210
14.(2022湖南长郡中学月考)若x2-2xn的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含x的项的系数是 .
15.(2022广东东莞月考)设n为正整数,(a+b)2n的展开式的二项式系数的最大值为x,(a+b)2n+1的展开式的二项式系数的最大值为y,若13x=7y,则n= .
16.已知x-2x2n(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含x32的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
能力提升练
题组一 与项的系数(和)、二项式系数(和)有关的问题
1.(2021湖南名校联盟联考)(x-2+y)6的展开式中,x2y2的系数为( )
A.360 B.180 C.90 D.-180
2.(2022湖南临澧一中月考)已知(1-2x)n的展开式中,各奇数项的二项式系数之和为64,则(1-2x)n1+1x的展开式中的常数项为( )
A.-14 B.-13 C.1 D.2
3.(多选)(2021湖南长沙一中月考)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,下列结论中正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数的和为32 021+12
C.展开式中所有偶次项系数的和为32 021-12
D.a12+a222+a323+…+a2 02122 021=-1
4.(2022湖北武汉期中)(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系数为 .
题组二 二项式系数的性质
5.(2021江西八所重点中学联考)在x+axn的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则展开式中含x6的项的系数为( )
A.45 B.-45 C.120 D.-120
6.(多选)(2022广东茂名期末)已知2x+1xn的展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.展开式中各项系数之和为36
B.展开式中二项式系数最大的项为160x32
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为90x3
7.(2020上海浦东华东师范大学第二附属中学月考)已知(3x+x2)2n的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求2x-1x20n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组三 二项式定理的应用
8.(2022山东济宁期中)假设今天是星期二,那么经过22 021天后是( )
A.星期三 B.星期四
C.星期五 D.星期六
9.(多选)(2022山东胶州期中)中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(md m).若a=C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320,a≡b(md 5),则b的值可以是( )
A.2 005 B.2 006 C.2 020 D.2 021
10.(2022辽宁抚顺期末)若n是正奇数,则7n+Cn17n-1+Cn27n-2+…+Cnn-17被9除的余数为( )
A.2 B.5 C.7 D.8
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43·(2)3+C44(2)4=17+122=a+2b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A A-B=C70×37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×31-C77×30=(3-1)7=27=128.
4.答案 6
解析 Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13+Cnn=Cn03n·10+Cn13n-1·11+Cn23n-2·12+…+Cnn-131·1n-1+Cnn30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6.
5.A 3x-1x26的展开式中共有7项,中间一项是第4项,对应的二项式系数为C63=20,故选A.
6.B x-ax5的展开式的通项为Tk+1=C5kx5-k-axk=(-a)kC5kx5-2k,其中k=0,1,2,3,4,5,令5-2k=-1,解得k=3,所以展开式中含1x的项的系数为(-a)3C53=-80,解得a=2.故选B.
7.C 2x-1xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(2x)n-r·-1xr(0≤r≤n,r∈N),由题可得Cn1∶Cn2=2∶5,即5Cn1=2Cn2,故5n=n(n-1),解得n=6(n=0舍去),所以Tr+1=C6r26-r(-1)rx6-3r2,令6-32r=3,解得r=2,所以x3的系数为C6226-2(-1)2=15×16×1=240,故选C.
8.答案 -516
解析 x-3x2(1+2x)6=x(1+2x)6-3x2(1+2x)6,因为(1+2x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)k=C6k2kxk(0≤k≤6,k∈N),所以x-3x2(1+2x)6的展开式中含x3的项为x·C6222x2-3x2·C6525x5=-516x3.故x-3x2(1+2x)6的展开式中含x3的项的系数为-516.
9.解析 (1)3x-123xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr·(3x)n-r-123xr=Cnr-12rxn-2r3(0≤r≤n,r∈N).
因为展开式中的第5项为常数项,
所以当r=4时,有n-2r3=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展开式的通项为Tr+1=C8r·-12rx8-2r3(0≤r≤8,r∈N),令8-2r3=2,解得r=1,
故所求系数为C81-121=-4.
(3)由题意得8-2r3∈Z,0≤r≤8,r∈N,
所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=358,T8=-116x2,
故展开式中所有的有理项为-4x2,358,-116x2.
10.A 由题可得2n=256,解得n=8,故其展开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r1xr=C8rx8-4r3(0≤r≤8,r∈N),
令r=2,5,8,得其展开式中各有理项系数之和为C82+C85+C88=85,故选A.
11.A 令x=1,则31+1n=M,即4n=M,易知Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n=N,由M-N=992,得4n-2n=992,令2n=t,则t2-t-992=0,解得t=32(负值舍去),即2n=32,故n=5,则3x+xn=3x+x5,其展开式的通项为Tr+1=C5r3x5-rxr=C5r35-rx3r-52(0≤r≤5,r∈N),令r=3,则展开式中含x2的项的系数为C5335-3=10×9=90,故选A.
12.答案 1 024
解析 由题图得最后一行各数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1 024.
13.AD 由题意知Cn2=Cn8,∴n=10,∴x+axn=x+ax10,令x=1,则(1+a)10=210=1 024,∴a=1.
对于A,展开式中各偶数项的二项式系数和为12×210=512,故A正确;对于B,∵n=10,∴展开式中共有11项,中间项为第6项,该项的二项式系数最大,该项的系数也是其二项式系数,故B错误;对于C,展开式的通项为Tr+1=C10r·x-r2·x10-r=C10r·x10-3r2(0≤r≤10,r∈N),令10-32r=0,得r=203∉Z,故展开式中不存在常数项,故C错误;对于D,令10-32r=4,得r=4,故展开式中含x4的项的系数为C104=210,故D正确.故选AD.
14.答案 -152
解析 因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以n2=6-1,即n=10,故x2-2xn=x2-2x10,
其展开式的通项为Tr+1=C10rx210-r-2xr=C10r·1210-r(-2)rx5-3r2,令5-32r=12,解得r=3,∴展开式中含x的项的系数为C103·1210-3·(-2)3=-152.
15.答案 6
解析 由题意知x=C2nn,y=C2n+1n,又13x=7y,所以13C2nn=7C2n+1n,即13·(2n)!n!n!=7·(2n+1)!n!(n+1)!,
则13=7×2n+1n+1,所以13×(n+1)=7×(2n+1),解得n=6.
16.解析 由题意知,第5项的系数为Cn4·(-2)4,第3项的系数为Cn2·(-2)2,则Cn4·(-2)4Cn2·(-2)2=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为x-2x28.
(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r·-2x2r=C8r(-2)rx4-5r2,令4-5r2=32,得r=1,故展开式中含x32的项为T2=-16x32.
(3)展开式中的第r项,第(r+1)项,第(r+2)项的系数的绝对值分别为C8r-1·2r-1,C8r·2r,C8r+1·2r+1,设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
则C8r-1·2r-1≤C8r·2r,C8r+1·2r+1≤C8r·2r,解得5≤r≤6(r∈N+).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,即T5=1 120x-6.
能力提升练
1.A (x-2+y)6=[x+(y-2)]6,其展开式的通项为Tr+1=C6r·x6-r·(y-2)r(0≤r≤6,r∈N),而(y-2)r的展开式的通项为Tk+1=Crk·yr-k·(-2)k(0≤k≤r,k∈N),令r=4,k=2,可得x2y2的系数为C64C42(-2)2=360.故选A.
2.B 由条件可知2n-1=64,所以n=7,则(1-2x)n·1+1x=(1-2x)71+1x=(1-2x)7+(1-2x)7x,易知(1-2x)7的展开式的常数项是17=1,(1-2x)7x的展开式的常数项是C71·16·(-2)=-14,所以原式的展开式中的常数项是1-14=-13.故选B.
3.ACD 令x=1,有a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,有a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.A:展开式中所有项的二项式系数的和为C2 0210+C2 0211+…+C2 0212 021=22 021,正确;B:由①-②可得a1+a3+a5+…+a2 021=-1+32 0212,错误;C:由①+②可得a0+a2+a4+…+a2 020=32 021-12,正确;D:令x=0,有a0=1,令x=12,有a0+a12+a222+…+a2 02122 021=0,故a12+a22+…+a2 02122 021=-1,正确.故选ACD.
4.答案 1 330
解析 (1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系数为C22+C32+C42+…+C202=C33+C32+C42+…+C202=C43+C42+…+C202=C213=21!3!×18!=21×20×193×2×1=1 330.
5.A 由题意得n2+1=6,解得n=10,
∴x+axn=x+ax10.
∵展开式的所有项的系数和为0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴x+ax10=x-1x10,其展开式的通项为Tr+1=C10rx10-r-1xr=(-1)rC10rx10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2C102=10×92×1=45.故选A.
6.AB 因为2x+1xn的展开式中各二项式系数之和为64,所以2n=64,解得n=6,所以该式为2x+1x6,其展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r·1xr=C6r26-rx6-3r2(0≤r≤6,r∈N).对于A,令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,所以A正确;对于B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则展开式中二项式系数最大的项为T4=C6326-3·x6-32×3=160x32,所以B正确;对于C,令6-32r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为T5=C6426-4x6-32×4=60,所以C错误;对于D,令第(r+1)项的系数最大,则C6r26-r≥C6r-126-(r-1),C6r26-r≥C6r+126-(r+1),解得43≤r≤73,因为r∈N,所以r=2时,所对应的项的系数最大,即展开式中系数最大的项为T3=C6224x3=240x3,所以D错误.故选AB.
7.解析 (3x+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以2x-1x20n=2x-1x100.
(1)2x-1x100的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即C10050(2x)50-1x50=250C10050.
(2)2x-1x100的展开式的通项为Tr+1=C100r(2x)100-r·-1xr=C100r·2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为C100r·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则C100k·2100-k≥C100k+1·2100-(k+1),C100k·2100-k≥C100k-1·2100-(k-1),解得983≤k≤1013,
易知k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=C10033·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-C10033·267·x34.
8.D 22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(C6730·7673+C6731·7672+…+C673672·7+C673673),由于C6730·7673+C6731·7672+…+C673672·7+C673673中,除了C673673,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4C673673=4,故经过22 021天后是星期六,故选D.
9.BD a=C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320,则由二项式定理可得a=(1+3)20=420=(5-1)20,则a=C200·520-C201·519+…-C2019·5+C2020,因为C200·520-C201·519+…-C2019·5能被5整除,所以a=C200·520-C201·519+…-C2019·5+C2020除以5的余数为1,又因为a≡b(md 5),所以b除以5的余数为1,结合选项知,选BD.
10.C 原式=Cn07n+Cn17n-1+Cn27n-2+…+Cnn-17=(Cn07n·10+Cn17n-1·1+Cn27n-2·12+…+Cnn-17·1n-1+Cnn70·1n)-Cnn70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[Cn09n·(-1)0+Cn19n-1·(-1)+Cn29n-2·(-1)2+…+Cnn-19·(-1)n-1+Cnn90·(-1)n]-1,
因为n为正奇数,所以上式可化简为Cn09n+Cn19n-1·(-1)+Cn29n-2·(-1)2+…+Cnn-19·(-1)n-1-2=Cn09n+Cn19n-1·(-1)+Cn29n-2·(-1)2+…+Cnn-19·(-1)n-1-9+7,所以该式除以9的余数为7.故选C.