人教A版高中数学必修第一册5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（1）【教学设计】

这是一份人教A版高中数学必修第一册5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（1）【教学设计】，共7页。

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、
余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、
指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦
函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)
的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学
生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。
教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。
多媒体
课程目标
学科素养
1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余
弦函数的图象的方法。
2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx, x∈R的图象，明确函数的图象；根据关系csx=sin(x+π／2)作出y=csx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。
3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认
真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。
a.数学抽象：由五点作图法；
b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像；
c.数学运算：特殊三角函数的求解；
d.直观想象：运用函数图像分析问题；
e.数学建模：正弦函数图像及其变换；
教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）创设问题情境
下面先研究函数y=sinx， x ∈R 的图象，从画函数y=sinx，x ∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？
（二）问题探究
如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.
若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．
事实上，利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象.
根据函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx， x ∈R 的图象吗？
由诱导公式一可知，函数y=sinx， x ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx， x ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx， x ∈R的图象（图5.4.4）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察图5.4.3，在函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：
0,0，π2，1，π，03π2，−1，（2π，0）
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．
思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
对于函数y=csx， 由诱导公式csx=sin⁡(x+π2) 得，y=csx=sinx+π2,x ∈R ．
而函数y=sinx+π2,x ∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx， x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．你能说明理由吗？
余弦函数y=csx ， x ∈R的图象叫做余弦曲线（csinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出y=csx， x ∈［－π，π］的简图
（三）典例解析
例1、用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝-cs x，x∈[0,2π].
【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．
在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋sin x
1
2
1
0
1
【解析】 (1)列表：
(2)列表：
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
-cs x
-1
0
1
0
-1
描点连线，如图
你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝csx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-csx，x∈[0,2π] 的图象？
方法与规律
1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点．
2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．
通过对三角函数定义的回顾，提出新的问题，提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。
通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
三、当堂达标
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
【解析】 观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.
【答案】 B
2．用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
【解析】 令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)和2π，得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π，故选B.
【答案】 B
3．点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1C．－1 D．2
【解析】 由题意－m＝sin eq \f(π,2)，∴－m＝1，∴m＝－1.
【答案】 C
4．函数y＝cs x与函数y＝－cs x的图象( )
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【解析】 作出函数y＝cs x与函数y＝－cs x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.
【答案】 C
5．方程x2－cs x＝0的实数解的个数是__________．
【解析】 作函数y＝cs x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
【答案】 2
6．用“五点法”画出y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－x))，x∈[0,2π]的简图．
【解】 由诱导公式得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－x))＝－sin x，
(1)列表：
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－sin x
0
－1
0
1
0
(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．
(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．
通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函图像的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
五、作业
1. 课时练 2. 预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；