2020-2021学年四川省乐山市犍为县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年四川省乐山市犍为县八年级下学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，0）在（ ）
A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限
2．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣5B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣7D．65×10﹣6
3．（3分）函数y＝x﹣3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3
C．x≠3D．x为任意实数
4．（3分）下列各式中，不能约分的分式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．是分式
6．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．xB．x＞3C．x＜3D．x
7．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象经过点（1，﹣2）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）都在图象上，则y1＜y2
8．（3分）如图，已知点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，四边形ABCD是长方形，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
9．（3分）若2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小明家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．小明从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．小明从文具店回家的平均速度是60m/min
11．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10B．12C．20D．24
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）当x 时，分式有意义．
14．（3分）分式、的最简公分母是 ．
15．（3分）将直线y＝3x﹣1向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是 ．
16．（3分）如图是中国象棋棋盘的一部分，如果我们把“马”所在的位置记作（﹣2，﹣1），“卒”所在的位置就是（﹣1，2），那么“相”所在的位置是 ．
17．（3分）如果关于x的分式方程3有增根，则m的值为 ．
18．（3分）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ．
19．（3分）若关于x的分式方程1的解是非负数，则所有符合条件的正整数a的个数有 个．
20．（3分）如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为 ．
三、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）计算：（π﹣3）0|﹣3|+（）﹣1．
22．（8分）如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A、B到原点的距离相等．求x的值．
23．（8分）在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象的一支位于第一象限．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A在该反比例函数的图象上，且点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称，求m的值．
四、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）先化简（1），然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y＝（m﹣1）x+3﹣m与x轴交于点A（3，0），与直线l2：y＝2x交于点B．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求△AOB的面积．
26．（9分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标．
28．（9分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）设商场购进A型节能台灯为x盏，销售完这批台灯时可获利为y元，求y关于x的函数解析式；
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
六、（本大题共2个小题，第29题10分，第30题11分，共21分）
29．（10分）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
30．（11分）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A（2，a+2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
（3）在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，0）在（ ）
A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限
【分析】根据在x轴上的点的纵坐标为0解答即可．
【解答】解：∵点P（2，0）的横坐标不等于0，纵坐标为0，
∴点P（2，0）在x轴上．
故选：A．
2．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣5B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣7D．65×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6；
故选：B．
3．（3分）函数y＝x﹣3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3
C．x≠3D．x为任意实数
【分析】根据函数自变量的范围解答即可．
【解答】解：函数y＝x﹣3的自变量x的取值范围是x为任意实数，
故选：D．
4．（3分）下列各式中，不能约分的分式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断即可．
【解答】解：A.，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．无法约分，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．是分式
【分析】A、根据分式有意义的条件是分母不等于0；
B、分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；
C、分式值是0的条件是分子等于0；
D、根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A．当x＝2时，分式无意义，故本选项不合题意；
B．无论x为何值，的值总为正数，故本选项符合题意；
C．当x＝0或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D．不是分式，故本选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．xB．x＞3C．x＜3D．x
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜1.5．
故选：D．
7．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象经过点（1，﹣2）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）都在图象上，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数y中，根据k的正负可判断A和C；令x＝1，求y的值进而可判断B；分别求出，再比较即可判断D．
【解答】解：A、k＝﹣2＜0，
∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、k＝﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
C、∵2，
∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、点A（﹣2，y1）、B（1、y2）都在反比例函数y的图象上，
∴y1＝1，y2＝﹣2，
∴y1＞y2，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，已知点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，四边形ABCD是长方形，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】首先延长BA交y轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，即可得S矩形ADOE＝4，S矩形BCOE＝8，继而求得答案．
【解答】解：延长BA交y轴于点E，
∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，
∴AE⊥y轴，
∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，
∵点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，
∴S矩形ADOE＝4，S矩形BCOE＝8，
∴S矩形ABCD＝S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝8﹣4＝4．
故选：A．
9．（3分）若2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件得到a＝2b，将其代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：因为2，得a＝2b．
所以．
故选：B．
10．（3分）已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小明家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．小明从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．小明从文具店回家的平均速度是60m/min
【分析】因为小明从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离小明家的距离；
小明从体育场到文具店是减函数，此段函数图象最高点与最低点纵坐标的差为小明家到文具店的距离；
根据“速度＝路程÷时间”即可得出小明从体育场出发到文具店的平均速度；
先求出小明家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可．
【解答】解：由函数图象可知，体育场离小明家2.5km，故选项A不合题意；
由函数图象可知，小明家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米，故选项B不合题意；
小明从体育场出发到文具店的平均速度为：1000÷（45﹣30）（m/min），故选项C符合题意；
小明从文具店回家的平均速度是1500÷（90﹣65）＝60（m/min），故选项D不合题意．
故选：C．
11．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
12．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10B．12C．20D．24
【分析】由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD＝4，即能求得AD＝CD＝3，即AC＝6，再求得△ABC面积．
【解答】解：由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4
过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4
∴AD＝CD
∴AC＝6
∴S△ABCAC•BD6×4＝12
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）当x ≠2 时，分式有意义．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣2≠0，即可解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2．
故答案为：≠2．
14．（3分）分式、的最简公分母是 12x2y3z ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：、的分母分别是3x2y2、4xy3z，故最简公分母是12x2y3z；
故答案是：12x2y3z．
15．（3分）将直线y＝3x﹣1向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是 y＝3x+1 ．
【分析】根据函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，
将直线y＝3x﹣1向上平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为y＝3x﹣1+2，即y＝3x+1．
故答案为y＝3x+1．
16．（3分）如图是中国象棋棋盘的一部分，如果我们把“马”所在的位置记作（﹣2，﹣1），“卒”所在的位置就是（﹣1，2），那么“相”所在的位置是 （1，1） ．
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出“相”的坐标．
【解答】解：如图所示：“相”所在的位置是（1，1）．
故答案为：（1，1）．
17．（3分）如果关于x的分式方程3有增根，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣5＝0，得到x＝5或6，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣5，
得x＝3（x﹣5）﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣5＝0，
解得x＝5，
当x＝5时，m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
18．（3分）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ﹣2 ．
【分析】依据正比例函数的定义可知m2﹣3＝1，由正比例函数的性质可知m＜0，故此可求得m的值．
【解答】解：∵函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，
∴m2﹣3＝1且m＜0，解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
19．（3分）若关于x的分式方程1的解是非负数，则所有符合条件的正整数a的个数有 3 个．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负数解确定出a的范围即可得到结论．
【解答】解：分式方程去分母得：2x+a﹣6＝x﹣2，
解得x＝4﹣a，
由分式方程有非负数解，
得到4﹣a≥0，且4﹣a≠2，
解得：a≤4且a≠2，
∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3，4．
故答案为：3．
20．（3分）如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为 ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图，设P（t，），则可表示出B（t，），A（6t，），利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OBC＝S△AOB，则S△AOB＝S梯形ABCD，然后利用梯形的面积公式计算．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图，
设P（t，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（t，），A（6t，），
∵S△OBC+S梯形ABCD＝S△OAD+S△AOB，
而S△OBC＝S△AOB，
∴S△AOB＝S梯形ABCD
（）（6t﹣t）
．
故答案为．
三、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）计算：（π﹣3）0|﹣3|+（）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（π﹣3）0|﹣3|+（）﹣1
＝1﹣2×3+2
＝1﹣6+2
＝﹣3．
22．（8分）如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A、B到原点的距离相等．求x的值．
【分析】根据题意得出方程，再方程两边都乘x+3得出x＝2（x+3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：根据题意得：2，
方程两边都乘x+3，得x＝2（x+3），
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x+3≠0，
所以x＝﹣6是所列方程的解，
即x的值是﹣6．
23．（8分）在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象的一支位于第一象限．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A在该反比例函数的图象上，且点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称，求m的值．
【分析】（1）根据反比例函数的性质得到m﹣3＞0，解不等式即可；
（2）求得A的坐标，然后代入y，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题意得，m﹣3＞0，
∴m＞3；
（2）∵点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称，
∴A（2，3），
∵点A在反比例函数y的图象上，
∴m﹣3＝2×3，
解得m＝9．
四、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）先化简（1），然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
【分析】首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入0或﹣1求解．
【解答】解：原式•
．
当a＝0时，原式2．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y＝（m﹣1）x+3﹣m与x轴交于点A（3，0），与直线l2：y＝2x交于点B．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将点A代入直线l1即可求出m的值，从而确定直线l1解析式；
（2）联立直线l1解析式和直线l2解析式，求出交点坐标B，进一步求△AOB的面积即可．
【解答】解：（1）将点A（3，0）代入y＝（m﹣1）x+3﹣m，
得3（m﹣1）+3﹣m＝0，
解得m＝0，
∴直线l1：y＝﹣x+3；
（2）联立，
解得，
∴B（1，2），
过点B作BH⊥OA于点H，如下图所示：
∴BH＝2，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴3，
∴△AOB的面积为3．
26．（9分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？
【分析】设原计划每天加工x套，根据准备订购400套运动装，某服装厂接到订单后，在加工160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用18天完成任务，可列方程．
【解答】解：设原计划每天加工x套，由题意得：
18．
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解．
答：原计划每天加工20套
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标．
【分析】（1）先将A坐标代入反比例函数解析式，求出n，再将B点坐标代入反比例函数解析式，求出m，再将A，B点坐标代入一次函数即可；
（2）先求出D点坐标，设E点坐标，表示出△DBE的面积和△DAE的面积，即可表示出△AEB的面积，列方程即可求出E点坐标．
【解答】解：（1）将代入反比例函数y，
得n6，
∴反比例函数的解析式为：，
将B（3，m）代入反比例函数解析式，
得3m＝6，
解得m＝2，
∴B（3，2），
将A，B点坐标代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）当x＝0时，6，
∴D（0，6），
设E点坐标为（0，y），
∵，，
∴S△AEB＝S△DBE﹣S△DAE，
∴y＝1，
∴E点坐标为（0，1）．
28．（9分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）设商场购进A型节能台灯为x盏，销售完这批台灯时可获利为y元，求y关于x的函数解析式；
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程即可；
（2）根据一次函数的增减性求解即可．
【解答】解：（1）y＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），
＝15x+2000﹣20x，
＝﹣5x+2000，
（2）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k＝﹣5＜0，
∴x＝25时，y取得最大值为﹣5×25+2000＝1875（元）．
六、（本大题共2个小题，第29题10分，第30题11分，共21分）
29．（10分）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．
（1）分式是 假 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
【分析】（1）根据定义填空；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算；
（3）先把假分式化为整式与真分式的和的形式，再根据分式的值为整数，x为整数，求出x的值．
【解答】解：（1）∵分子的次数大于分母的次数，
∴分式是假分式，
故答案为：假；
（2）
＝3，
＝x﹣2；
（3）
＝2（x+1），
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
∴当x＝2或0时，分式的值为整数．
30．（11分）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A（2，a+2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
（3）在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，M（t，t+3），N（t，），得出PMt+3，PN，分两种情况得出答案；
（3）先求出OC，OD，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（m≠0）的图象经过A（2，a+2）、B（a﹣10，﹣1）两点，
∴，
解得：，
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx+b得，，
解得，，
∴一次函数的解析式为yx+3；
（2）由题意得，M（t，t+3），N（t，），
∴PMt+3，PN，
当t＞2时，d＝PM﹣PNt+3；
当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM（t+3）；
（3）由（1）知，直线AB的解析式为yx+3，
令x＝0，则yx+3＝3，
令y＝0，则0x+3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，如图，
∵△CDQ是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH+∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH+∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴△COD≌△HDQ（AAS），
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD+DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②当∠DCQ＝90°时，同①的方法得，Q'（﹣9，3）；
③当∠CQD＝90°时，
同①的方法得，△CLQ''≌△DKQ''，
∴Q''L＝Q''K，CL＝DK，
∴设Q''（﹣a，a），
∴Q''K＝Q''K＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a，
∴Q''（，），
即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70