江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
3. 已知，：“”，：“”，则是的（ ）
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. 9D.
5. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A. 3B. 2C. D.
8. 若关于不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A B. C. D.
二、多选题（每空6分）
9. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，，且，则（ ）
A. 有最小值5B. 有最小值6
C. ab有最大值D. ab有最小值
11. 当时，不等式成立．若，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（每空5分）
12. 值域为________．
13. 已知圆，点A是圆C上任一点，抛物线的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则的最小值为_______
14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________.
四、解答题
15. 已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围.
16. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
17. 定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．
（1）求证：在上是单调递增函数
（2）解关于的不等式：
（3）已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19. 已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）
南昌二中2023-2024学年度下学期高二数学期末试卷
一、单选题（每空5分）
1. 已知全集，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集和交集的定义运算即可．
【详解】解：因为全集，集合，所以，
所以；
故选：A
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
3. 已知，：“”，：“”，则是的（ ）
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即，解得或，
所以：“或”，
故由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，
所以是的必要但不充分条件.
故选：B
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为.
故选：C
5. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可
【详解】的否定为.
故选：D.
6. 设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的意义可得分段函数解析式，进而得到函数图象；分别在、、和四种情况下，结合单调性和函数值的大小关系构造不等式求得结果.
【详解】由的意义可得：
由此可得图象如下图所示：
①当时，，此时单调递增 ，满足题意
②当时， ，
，解得：或
③当时， ，
，解得：
④当时，，此时单调递减 ，不符合题意
综上所述：实数的取值范围为：
故选
【点睛】本题考查根据函数值的大小关系求解参数范围的问题；关键是能够读懂新定义运算的含义，得到分段函数解析式和图象，涉及到分类讨论思想的应用.
7. 已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cs
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，
∴≥2
∴，
故选D．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题．
8. 若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】原不等式可化为，设，则直线过定点，由题意得函数的图象在直线的下方．∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，由解得，当直线绕着点旋转时可得，故实数的取值范围是．选B．
二、多选题（每空6分）
9. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；
对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；
对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；
对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；
对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.
故选：AB.
10. 已知，，且，则（ ）
A. 有最小值5B. 有最小值6
C. ab有最大值D. ab有最小值
【答案】AD
【解析】
【分析】首先等式变形为，再通过换元，结合基本不等式，求最小值，判断AB；利用基本不等式，将原等式变形为不等式，即可求解的最小值，判断CD.
【详解】A.由可得，令，，则
，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；
由，解得：，故，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.
故选：AD
11. 当时，不等式成立．若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意得在上单调递增，再结合函数的单调性逐一分析选项即可得到答案.
【详解】当时，
设
在上单调递增.
对于选项A：.，根据函数的单调性可得选项A正确；
对于选项B：，，根据函数的单调性可得选项B正确；
对于选项C：取，满足，但是，故选项C错误；
对于选项C：，得，即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（每空5分）
12. 的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设,则,则,进而利用二次函数的性质求解即可
【详解】设,则,∴,
∵,∴,∴,
故函数的值域为,
故答案：
【点睛】本题考查换元法求函数的值域,考查二次函数的应用
13. 已知圆，点A是圆C上任一点，抛物线的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可知，结合圆的性质，当且仅当三点共线时等号成立取得最值.
【详解】由圆可得圆心，，
设焦点为，则，，
抛物线上任意一点Р到直线l的距离为，
过点作于点，则，
由抛物线的定义可知，
所以
，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.
14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，由题意，得到以，其零点，确定，得到，将转化为表示，然后由基本不等式求解最值即可．
【详解】令，时，恒成立，
若，时必有，不合题意，
所以，其零点，
由题意，函数的图象不穿过轴，则有两个正的零点且它们相同，
所以，化简可得，则，所以，
因为，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得出，然后分和两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，解出即可；
（2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有，
解得；
综上所诉：实数m的取值范围为.
【小问2详解】
若，则有
当时，则有，
解得；
当时或
得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
16. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.
（2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集.
【小问1详解】
由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
【小问2详解】
当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
17. 定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．
（1）求证：在上是单调递增函数
（2）解关于的不等式：
（3）已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义及所给函数的性质证明即可；
（2）利用函数的单调性及定义域解不等式即可；
（3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
任取，且，
设，则，
则，
即，
所以在上是单调递增函数.
【小问2详解】
由（1）知，，
解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，
所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，
则不等式恒成立只需满足，
解得或，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第一问证明抽象函数的单调性关键在于函数单调性的定义证明格式与抽象函数所给性质的结合，第三问恒成立问题关键在于转化，首先转化为恒成立，再利用构造关于的函数，由函数性质建立不等关系是关键所在.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点F，连接，由， 得到，再由 ，得到，进而得到，利用线面平行的判定定理证明；
（2）以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量 和平面CPD的一个法向量，由求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，交于点F，连接．
由，，所以．
又，所以，故．
又平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
不妨设，
则．
以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以．
设为平面的一个法向量，则有
即可取．
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
19. 已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（I）设出直线与相切的切点坐标为，然后对函数进行求导，这样可以得到，切点又在直线上，这样可以得到
，则有，设函数
，求导，判断函数的单调性，最后求出函数的最大值，也就求出ab的最大值；
（Ⅱ）方法1：原方程化为，令进行换元，方程等价于，构造函数，原问题等价于函数需有两个不同的零点．对函数进行求导，根据函数的导函数的单调性，可以知道在上存在唯一实根，这样可以判断出函数的单调性，然后根据的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a的最大整数值．
方法2：原方程即为，设，
则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程）有两个不同的解．构造函数，求导得，得到函数的单调性，最后求出a的最大整数值．，
【详解】解：（I）设直线与相切于点．
因为，所以
所以．
又因为P在切线上，所以
所以，，
因此.
设，
则由
解得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
可知的最大值为，
所以的最大值为.
（Ⅱ）方法1：原方程即为，
设，则上述方程等价于．
设，则函数需有两个不同的零点．
因为在上单调递减，
且在上存在唯一实根，
即，即．
所以当时，，当时，．
因此在上单调递增，在上单调递减．
若，则．
，
不合题意，舍去．
若，则．
当时，则，
取，则；
当时，则，
取，则．
由此，且，.
要使函数有两个不同的零点，
则只需，
所以只需.
因为是关于的增函数．
且，
所以存在使得，
所以当时，．
因为是关于减函数，
所以
又因为，
所以的最大整数值为．
方法2：原方程即为，设，
则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程）有两个不同的解．
设，则.
设，
由知，所以
在区间上单调递减，又，
所以存在使得.
当时，，；当时，，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所照．
要使得关于的方程有两个不同的解，则.
当时，设，
则，可知在上单调递增，
在单调递减．
又，，，
有两个不同的零点，符合题意．
所以的最大整数值为．
【点睛】本题考查了导数的几何意义、考查了利用用导数，根据方程根的情况求参数取值范围问题，转化思想、构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.