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江西省九江市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份江西省九江市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了已知两条平行直线，在的展开式中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（ ）把握喜欢篮球与性别有关.
A. B. C. D.
3.一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（ ）
A. B.
C. D.
4.四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ）
A.36 B.24 C.64 D.81
5.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
6.已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，从正六边形的六个顶点中任取三个点构成三角形，则能成为等腰三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A. B. C. D.
10.在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.不含常数项 B.二项式系数之和为32
C.系数最大项是 D.各项系数之和为-1
11.为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接等腰直角三角形，，，则（ ）
A. B.圆锥的体积为
C.二面角为直二面角 D.到平面距离为
12.已知双曲线的左､右焦点分别为为上两点，且，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有__________件.
（注：）
14.已知向量.若，则与的夹角为__________.
15.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为__________.（精确到小数点后两位数）
16.如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程.
18.（本小题满分12分）
2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单：
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程；
（2）随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，底面，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程；
（2）若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程.
21.（本小题满分12分）
近年随着全民健身运动的大力推广，2023年下半年某市举办第二届职工足球比赛.假设共有12支队伍参加比赛，12支队伍分成三个小组，每小组四支球队，每小组进行单循环比赛（小组内的每两支队伍比赛一场），胜利方得3分，平局各得1分，输球方不得分.每小组的前2名直接进入第二阶段淘汰赛，剩下六支队伍中成绩最好的前两名也进入第二阶段淘汰赛，一共有八支队伍进入第二阶段淘汰赛，淘汰赛中胜利方直接进入下一轮，输球方直接淘汰，直到决出冠军､亚军和季军.
（1）问本次比赛一共要打多少场比赛？
（2）假设小组赛时甲所在小组每队实力相当，胜平负都是等可能，记表示小组赛时甲队比赛得分，求的分布列及数学期望.
22.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值.
九江市2023-2024学年度上学期期末考试
高二数学试卷
答案与解析
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D
解：由，得抛物线的焦点在轴上，其焦点坐标为，故选D.
2.B
解：有把握认为与性别有关，故选B.
3.C
解：第12次必须取到白球，在前面11次取球中取到2次红球，，故选C.
4.A
解：不同的安排方法种数是（种）.故选A.
5.B
解：，且四边形为平行四边形，，故选B.
6.C
解：圆的标准方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离为.当时，取最大值，此时，，故选C.
7.C
解：从正六边形的六个顶点中任取三个点可以构成三角形的个数为
，其中等腰三角形有：，
共8个，故所求概率为，故选C.
8.D
解：如图，令，由，得，
又，则，
即，又由，得，
，故选D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.AC
解：两平行直线的距离直线和的夹角为，又直线的倾斜角为，故选AC.
10.ABC
解：的展开式的通项为.令，得（不符题意），正确；二项式系数之和，B正确；系数为正依次是，，故系数最大项是，C正确；令，得各项系数之和为，D错误.故选ABC.
11.ABD
解：选项：平面平面是等腰直角三角形，平面正确；
选项：是等腰直角三角形，圆的半径为1，
圆锥的体积，B正确.
选项：以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得.同理可得平面的法向量为二面角不为直二面角，错误；
D选项：，D正确.
故选ABD.
12.BD
解：以为直径的圆经过，
又弦的中垂线过圆心，故的中点（圆心）在轴上，
关于轴对称，或关于原点对称.
当关于轴对称时，设，则，由，
得，即，又，解得，故直线的方程为正确.
当关于关于原点对称时，设，则，由，
得，即，又，解得，
，故直线的方程为正确.
故选BD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.1359
解：满足正态分布，
，
直径在之间的零件大约有1359件.
14..
解：，故与的夹角为.
解：.
16.
解：设的中心为，则底面，延长至，
使得，则，
以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
的最小值为.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）解法一：直线的斜率为
又直线的斜率为1
又直线过点直线的方程为
即
解法二：直线的方程可设为
又直线过点，解得
直线的方程为
（2）设，
圆经过点，化简得①
又圆与直线相切，，化简得②
联立①②得
圆的半径
故圆的方程为
18.解：（1）
分
关于的线性回归方程为
（2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8
（万辆），
估计2023年12月份该公司出售6.74辆新能源汽车
19.解：（1）底面底面
又，即
又平面，
平面
又平面平面平面
（2）连接侧面为菱形，，又为正三角形，
，
同理
以为原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，不妨设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为
20.解：（1）设，
圆和轴相切，.
化简得
（2）依题意，设直线的方程为
由，得，即
联立方程组，消得
即，解得
的方程为
21.解：（1）小组赛中共有场
8支队伍参加淘汰赛共4场.
4强赛时共有2场比赛，冠亚军比赛有1场比赛，三四名有1场比赛
一共有场比赛.
（2）
，
.
得分分布列为：
22.解：（1）的离心率为，即
又
又点在上，，即，解得
故的方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，，此时
②当直线的斜率存在时，设为，
则
则
又，即
直线的方程为，令，得，即
直线的方程为，令，得，即
，当且仅当时，取等号.
的最小值是0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
2023月份
5
6
7
8
9
月份代码
1
2
3
4
5
新能源车销售（万辆）
1.6
2.1
2.7
3.7
4.6
0
1
2
3
4
5
6
7
9
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（ ）把握喜欢篮球与性别有关.
A. B. C. D.
3.一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（ ）
A. B.
C. D.
4.四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ）
A.36 B.24 C.64 D.81
5.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
6.已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，从正六边形的六个顶点中任取三个点构成三角形，则能成为等腰三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A. B. C. D.
10.在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.不含常数项 B.二项式系数之和为32
C.系数最大项是 D.各项系数之和为-1
11.为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接等腰直角三角形，，，则（ ）
A. B.圆锥的体积为
C.二面角为直二面角 D.到平面距离为
12.已知双曲线的左､右焦点分别为为上两点，且，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有__________件.
（注：）
14.已知向量.若，则与的夹角为__________.
15.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为__________.（精确到小数点后两位数）
16.如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程.
18.（本小题满分12分）
2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单：
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程；
（2）随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，底面，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程；
（2）若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程.
21.（本小题满分12分）
近年随着全民健身运动的大力推广，2023年下半年某市举办第二届职工足球比赛.假设共有12支队伍参加比赛，12支队伍分成三个小组，每小组四支球队，每小组进行单循环比赛（小组内的每两支队伍比赛一场），胜利方得3分，平局各得1分，输球方不得分.每小组的前2名直接进入第二阶段淘汰赛，剩下六支队伍中成绩最好的前两名也进入第二阶段淘汰赛，一共有八支队伍进入第二阶段淘汰赛，淘汰赛中胜利方直接进入下一轮，输球方直接淘汰，直到决出冠军､亚军和季军.
（1）问本次比赛一共要打多少场比赛？
（2）假设小组赛时甲所在小组每队实力相当，胜平负都是等可能，记表示小组赛时甲队比赛得分，求的分布列及数学期望.
22.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值.
九江市2023-2024学年度上学期期末考试
高二数学试卷
答案与解析
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D
解：由，得抛物线的焦点在轴上，其焦点坐标为，故选D.
2.B
解：有把握认为与性别有关，故选B.
3.C
解：第12次必须取到白球，在前面11次取球中取到2次红球，，故选C.
4.A
解：不同的安排方法种数是（种）.故选A.
5.B
解：，且四边形为平行四边形，，故选B.
6.C
解：圆的标准方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离为.当时，取最大值，此时，，故选C.
7.C
解：从正六边形的六个顶点中任取三个点可以构成三角形的个数为
，其中等腰三角形有：，
共8个，故所求概率为，故选C.
8.D
解：如图，令，由，得，
又，则，
即，又由，得，
，故选D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.AC
解：两平行直线的距离直线和的夹角为，又直线的倾斜角为，故选AC.
10.ABC
解：的展开式的通项为.令，得（不符题意），正确；二项式系数之和，B正确；系数为正依次是，，故系数最大项是，C正确；令，得各项系数之和为，D错误.故选ABC.
11.ABD
解：选项：平面平面是等腰直角三角形，平面正确；
选项：是等腰直角三角形，圆的半径为1，
圆锥的体积，B正确.
选项：以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得.同理可得平面的法向量为二面角不为直二面角，错误；
D选项：，D正确.
故选ABD.
12.BD
解：以为直径的圆经过，
又弦的中垂线过圆心，故的中点（圆心）在轴上，
关于轴对称，或关于原点对称.
当关于轴对称时，设，则，由，
得，即，又，解得，故直线的方程为正确.
当关于关于原点对称时，设，则，由，
得，即，又，解得，
，故直线的方程为正确.
故选BD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.1359
解：满足正态分布，
，
直径在之间的零件大约有1359件.
14..
解：，故与的夹角为.
解：.
16.
解：设的中心为，则底面，延长至，
使得，则，
以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
的最小值为.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）解法一：直线的斜率为
又直线的斜率为1
又直线过点直线的方程为
即
解法二：直线的方程可设为
又直线过点，解得
直线的方程为
（2）设，
圆经过点，化简得①
又圆与直线相切，，化简得②
联立①②得
圆的半径
故圆的方程为
18.解：（1）
分
关于的线性回归方程为
（2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8
（万辆），
估计2023年12月份该公司出售6.74辆新能源汽车
19.解：（1）底面底面
又，即
又平面，
平面
又平面平面平面
（2）连接侧面为菱形，，又为正三角形，
，
同理
以为原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，不妨设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为
20.解：（1）设，
圆和轴相切，.
化简得
（2）依题意，设直线的方程为
由，得，即
联立方程组，消得
即，解得
的方程为
21.解：（1）小组赛中共有场
8支队伍参加淘汰赛共4场.
4强赛时共有2场比赛，冠亚军比赛有1场比赛，三四名有1场比赛
一共有场比赛.
（2）
，
.
得分分布列为：
22.解：（1）的离心率为，即
又
又点在上，，即，解得
故的方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，，此时
②当直线的斜率存在时，设为，
则
则
又，即
直线的方程为，令，得，即
直线的方程为，令，得，即
，当且仅当时，取等号.
的最小值是0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
2023月份
5
6
7
8
9
月份代码
1
2
3
4
5
新能源车销售（万辆）
1.6
2.1
2.7
3.7
4.6
0
1
2
3
4
5
6
7
9
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