重庆市巴蜀中学2023年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】

这是一份重庆市巴蜀中学2023年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各分式中，是最简分式的是.，如图，数轴上点N表示的数可能是等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）
A．0.5B．1C．0.25D．2
2．若函数y=(m-1)x∣m∣-5是一次函数，则m的值为( )
A．±1B．-1C．1D．2
3．如图，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70°B．68°C．65°D．60°
5．下列各分式中，是最简分式的是（ ）.
A．B．C．D．
6．如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．60C．45D．30
8．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M≤ND．M＜N
10．若把分式中的x与y都扩大3倍，则所得分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不变
11．蝴蝶标本可以近似地看做轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，两条直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组_____的解．
14．我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
（1）在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点表示；
（2）（1）中所取点表示的数字是______，相反数是_____，绝对值是______，倒数是_____，其到点5的距离是______．
（3）取原点为，表示数字1的点为，将（1）中点向左平移2个单位长度，再取其关于点的对称点，求的长．
15．若x，y为实数，且，则的值为____
16．分式有意义的条件是__________.
17．如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于_______；
18．二次根式中，x的取值范围是 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知函数y＝，且当x＝1时y＝2；
请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为 ；
（2）根据解折式，求出如表的m，n的值；
m＝ ，n＝ ．
（3）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象；
（4）写出函数图象一条性质 ；
（5）请根据函数图象写出当＞x+1时，x的取值范围．
20．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
21．（8分）为了解某区八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该区八年级学生部分学生进行调查.已知D组的学生有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表.
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）试求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a的值及a对应的扇形的圆心角度数；
（2）如果睡眠时间x（时）满足：，称睡眠时间合格.已知该区八年级学生有3250人，试估计该区八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？
（3）如果将各组别学生睡眠情况分组的最小值（如C组别中，取），B、C、D三组学生的平均睡眠时间作为八年级学生的睡眠时间的依据.试求该区八年级学生的平均睡眠时间.
22．（10分）如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点，分别从点，点同时出发向右移动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点同时停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，请在网格纸图中画出线段，并求其长度．
（2）在动点，运动的过程中，若是以为腰的等腰三角形，求相应的时刻的值．
23．（10分）如图，各顶点的坐标分别是，，．
（1）求出的面积；
（2）①画出关于轴对称的，并写出，，三点的坐标（其中，，分别是的对应点，不写画法）；
②在轴上作出一点，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
24．（10分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
(1)求甲、乙两人射击成绩的平均数；
(2)甲、乙两人中，谁的射击成绩更稳定些?请说明理由．
25．（12分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出，ab和的数量关系．
26．小明和小华的年龄相差10岁．今年，小明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比小明年龄的大．试问小明和小华今年各多少岁？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】过P作PM∥BC，交AC于M，则△APM也是等边三角形，在等边三角形△APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形，
又∵PE⊥AM，
∴；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中
，
∴△PMD≌△QCD（AAS），
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．
2、B
【解析】根据一次函数的概念，形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的函数为一次函数，故可知m-1≠0，|m|=1，解得m≠1，m=±1，故m=-1.
故选B
点睛：此题主要考查了一次函数的概念，利用一次函数的一般式y=kx+b（k≠0，k、b为常数），可得相应的关系式，然后求解即可，这是一个中考常考题题，比较简单.
3、C
【分析】先根据平行线的性质求出∠BDC的度数，在利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴∠BDC=
又∵
∴∠A=∠BDC-∠2=76°-28°=48°
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形的外角的性质，掌握“两直线平行，内错角相等及三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和”是关键．
4、A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内和的应用，由全等三角形对应角相等可证得∠C=∠D，∠AED=∠B，从而得∠1=∠CED，由全等三角形对应边相等可得AB=AE，可得∠B=∠AEB，所以∠AED=∠AEB，从而求出∠AED的度数.
【详解】∵△ABC≌△AED，
∴∠C=∠D，
∴∠CED=∠1=40°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠B=∠AED,AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，∴∠AED=（180°-∠CED）÷2=70°.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内和的应用，掌握全等三角形的性质和三角形内和为180°是解题的关键.
5、A
【分析】根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、分子、分母不含公因式，是最简分式；
B、＝＝x－y，能约分，不是最简分式；
C、＝＝，能约分，不是最简分式；
D、＝，能约分，不是最简分式．
故选A．
【点睛】
本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．
6、C
【分析】根据题意可得2＜N＜3，即＜N＜，在选项中选出符合条件的即可.
【详解】解：∵N在2和3之间，
∴2＜N＜3，
∴＜N＜，
∵，，，
∴排除A，B，D选项，
∵，
故选C.
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方.
7、D
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得BC的长，然后根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，
∴BC＝＝5，
∴△ABC的面积＝×12×5＝30，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，掌握基本性质是解题的关键．
8、C
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
9、C
【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）＝m2﹣3m﹣m+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
10、A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：原式＝＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的基本性质,关键在于熟记基本性质.
11、B
【分析】根据轴对称图形的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得解.
【详解】由题意，得
点的坐标为
故选：B.
【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系中轴对称图形坐标的求解，熟练掌握，即可解题.
12、B
【解析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】A、x=0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x=-1时，分式无意义，故C错误；
D、当x=0时，分式无意义，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，分母不为零分式有意义．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】先利用待定系数法求出直线l1的解析式y＝x+1和直线l2的解析式y＝x，然后根据一次函数与二元一次方程（组）的关系求解．
【详解】设直线l1的解析式为y＝kx+b，
把（﹣2，0）、（2，2）代入得，
解得，
所以直线l1的解析式为y＝x+1，
设直线l2的解析式为y＝mx，
把（2，2）代入得2m＝2，
解得m＝1，
所以直线l2的解析式为y＝x，
所以两条直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故答案为．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：两个一次函数的交点坐标满足两个一次函数解析式所组成的方程组．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
14、（1）见解析；（2）（答案不唯一）；（3）（答案不唯一）．
【分析】（1）先在数轴上以原点为起始点，以某个单位长度的长为边长画正方形，再连接正方形的对角线，以对角线为半径，原点为圆心画弧即可在数轴上得到一个无理数；
（2）根据（1）中的作图可得出无理数的值，然后根据相反数，绝对值，倒数的概念以及点与点间的距离概念作答；
（3）先在数轴上作出点A平移后得到的点A′，点B，点C，再利用对称性及数轴上两点间的距离的定义，可求出CO的长．
【详解】解：（1）如图所示：（答案不唯一）
（2）由（1）作图可知，点表示的数字是，相反数是-，绝对值是，倒数是，其到点5的距离是5-，
故答案为：（答案不唯一）
（3）如图，将点向左平移2个单位长度，得到点，
则点表示的数字为，
关于点的对称点为，
点表示的数字为1，
∴A′B=BC=1-()=3-，
∴A′C=2A′B=6-,
∴CO=OA′+A′C=+6-=4-，
即CO的长为．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，数轴上两点间的距离的求法，勾股定理以及相反数、绝对值、倒数的概念，掌握基本概念是解题的关键.
15、
【分析】根据非负数（式）的性质先求出x,y的值，再代入式中求值即可.
【详解】解：∵，
则=
故答案为-1
【点睛】
本题考查了绝对值和算术平方根非负性的应用，能正确把x,y的值求出是解题关键.
16、
【分析】根据分式的性质即可求出.
【详解】∵是分式，
∴
∴
【点睛】
此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的性质.
17、1
【解析】试题解析：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=1．
18、．
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
三、解答题（共78分）
19、（1）y＝；（2），2；（3）见解析；（4）当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；（5）x＜1．
【分析】（1）把x＝1，y＝2代入y＝， 即可得到结论；
（2）求当x＝4时，当x＝5时的函数值即可得到结论；
（3）根据题意画出函数的图象即可；
（4）根据函数的图象即可得到结论；
（5）根据函数的图象即可得到结论．
【详解】解：（1）把x＝1，y＝2代入y＝
得：2＝，
解得：k＝2，
∴函数的解析式为：，
故答案为：y＝；
（2）当x＝4时，m＝＝，
当x＝5时，n＝＝2；
故答案为：，2；
（3）如图所示；描点并作图，同时在同一坐标系内画的图像，
（4）当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；
故答案为：当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；
（5）由图象知，当＞x+1时，x＜1．
【点睛】
本题考查的是画函数的图像，以及根据图像确定函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20、见解析
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，


【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
21、（1），对应扇形的圆心角度数为18；（2）该区八年级学生睡眠时间合格的共有人；（3）该区八年级学生的平均睡眠时间为小时．
【分析】（1）根据各部分的和等于1即可求得，然后根据圆心角的度数=360×百分比求解即可；
（2）合格的总人数=八年级的总人数×八年级合格人数所占百分比；
（3）分别计算B、C、D三组抽取的学生数，然后根据平均数的计算公式即可求得抽取的B、C、D三组学生的平均睡眠时间，即可估计该区八年级学生的平均睡眠时间．
【详解】（1）根据题意得：；
对应扇形的圆心角度数为：360×5%=18；
（2）根据题意得：（人），
则该区八年级学生睡眠时间合格的共有人；
（3）∵抽取的D组的学生有15人，
∴抽取的学生数为：（人），
∴B组的学生数为：（人），
C组的学生数为：（人），
∴B、C、D三组学生的平均睡眠时间：（小时），
该区八年级学生的平均睡眠时间为小时．
【点睛】
本题主要考查的是扇形统计图的认识以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
22、（1）图见解析，；（2）或
【分析】（1）因为已知，的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出；
（2）①当时，，；②当时，，；分别列出方程求出后根据取舍即可得．
【详解】解：（1）∵点的运动速度为每秒1个单位和运动时间为3秒，
∴由图中可知的位置如图1，
则由已知条件可得，，，，
∴.
（2）作于点，由题意知、，
则、，
∵，
∴，则，
即，
∵，，
∴当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得：；
综上，当或时，能成为以为腰的等腰三角形.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，作图平移变换及等腰三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定．
23、（1）；（2）图见解析，、、；（3）图见解析
【分析】（1）将三角形放入长方形中，长方形面积减去三个小三角形的面积即可得到△ABC的面积；
（2）①根据关于x轴对称的点的特点，描出，，，再连线即可，根据A，B，C的坐标写出，，即可；
②根据轴对称思想，作点A关于y轴的对称点，连接B交y轴于点P即可．
【详解】解：（1），
∴的面积，
（2）①关于轴对称的如下图所示，、、
②如下图所示，点P为所求，
【点睛】
本题考查了在坐标系中求三角形的面积，画轴对称图形，及最短路径问题，解题的关键是理解轴对称图形的做法及最短路径的原理．
24、（1）甲、乙两人射击成绩的平均数均为8环；（2）乙.
【分析】（1）直接利用算术平均数的计算公式计算即可；
（2）根据方差的大小比较成绩的稳定性．
【详解】（1）（环）；
=8（环）；
（2）∵甲的方差为： [（7-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2]=1.2（环2）；
乙的方差为： [（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.4（环2）；
∴乙的成绩比较稳定．
【点睛】
本题考查了极差和方差，极差和方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
25、（1）2a－b；(2)25；(3)8ab.
【分析】(1)根据长方形的长是2a，宽是b，可以得到小正方形的边长是长与宽的的差；
(2)从图中可以看出小正方形的面积=大正方形的面积－4个小长方形的面积，再根据2a+b=7求出小正方形的面积；
(3)利用平方差公式得到：，ab和之间的关系．
【详解】解：（1）图2的空白部分的边长是：2a－b；
（2）由图可知，小正方形的面积=大正方形的面积－4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长=2a＋b=7，
∴大正方形的面积=，
又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24，
∴小正方形的面积=；
（3）由图2可以看出，大正方形的面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：．
考点：1.完全平方公式；2.平方差公式.
26、小明和小华今年分别为19岁和9岁．
【分析】根据题目中的两组不等关系，列出不等式组进行求解．
【详解】解：设小华今年的年龄为岁，则小明今年的年龄为 岁．
依题意有： ，解得，
∴不等式组的解集为，
又为整数，故＝9 ，
答：小明和小华今年分别为19岁和9岁．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式是关键．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
3
2.5
2
1.5
0
m
n
2.5
3
…
组别
睡眠时间
命中环数
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0