2023-2024学年陕西省西安高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年陕西省西安高二（上）第一次月考数学试卷（10月份），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点A（2，1），B（3，2），则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
2．（5分）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交
3．（5分）已知直线倾斜角为60°，在y轴上的截距为﹣2，则此直线方程为（ ）
A．y＝x+2B．y＝﹣x+2C．y＝﹣x﹣2D．y＝x﹣2
（多选）4．（5分）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列式子可以化简为零向量的是（ ）
A．+2+2+B．2+2+3+3+
C．++D．﹣+﹣
5．（5分）在空间直角坐标系中，若，，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知点M（1，﹣2），N（m，2），若线段MN的垂直平分线的方程是+y＝1，则实数m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣7C．3D．1
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（ ）
A．（﹣1，﹣2，1）B．（﹣1，2，1）
C．（﹣1，﹣2，﹣1）D．（1，﹣2，﹣1）
8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x+y+z＝（ ）
A．1B．2C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（多选）10．（5分）三棱锥A﹣BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，若，则二面角A﹣BD﹣C的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
（多选）12．（5分）已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（ ）
A．直线l2的斜率为
B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C．直线l1倾斜角的正切值为3
D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为 ．
14．（5分）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于 ．
15．（5分）直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点 ．
16．（5分）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC＝BC＝1，A1A＝2．则二面角D﹣A1C﹣C1的余弦值是 ．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．（10分）如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量，，代表．
（1）若用向量代表整条手臂，求；
（2）求所代表的点与原点之间的距离．
18．（12分）已知△ABC的顶点坐标为A（﹣5，﹣1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求AC边上的高所在直线的方程．
19．（12分）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．
（1）求证：MN⊥平面PCD；
（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．
20．（12分）已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求m的值；
（2）若点P（1，m）在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．
21．（12分）已知直线l：kx﹣y+2+4k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2．
（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年陕西省西安工业大学附中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据两点间斜率公式求解即可．
【解答】解：，
又因为0°≤α＜180°
所以α＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题．
2．【分析】根据＝0可知⊥，从而得出结论．
【解答】解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．
∴l∥α或l⊂α．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
3．【分析】利用点斜式即可得出．
【解答】解：由题意可得直线方程为：y＝xtan60°﹣2，即y＝x﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了点斜式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．【分析】直接利用向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：＝＝，故A错误；
对于B：2+2+3+3+＝，故B正确；
对于C：＝，故C错误；
对于D：＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
5．【分析】由，得＝0求出x，从而可求出的坐标，进而可求出其模．
【解答】解：因为），＝（1，﹣1，x），且，
所以x＝0，得x＝0，
所以＝（1，﹣1，0），所以），
所以|．
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．【分析】由题意可得点M、N的中点（，0）在直线x+2y﹣2＝0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．
【解答】解：∵线段MN的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，
∴点M、N的中点（，0）在直线x+2y﹣2＝0上，
∴+2×0﹣2＝0，解得m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及中点坐标公式，属基础题．
7．【分析】在空间直角坐标系Oxyz中，与点（x，y，z）关于平面xOz对称的点为（x，﹣y，z）．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，
与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（﹣1，﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查在空间直角坐标系Oxyz中，与点（x，y，z）关于平面xOz对称的点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，
PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，，
因为EC＝2PE，所以，
所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
又，所以，则x+y+z＝1．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】由直线的方程求出斜率和在y轴上的截距，可得结论．
【解答】解：∵直线Ax+By+C＝0，即y＝﹣•x﹣，
∵AB＜0，BC＞0，∴直线的斜率﹣＞0，在y轴上的截距﹣＜0，
故直线Ax+By+C＝0经过第一、三、四象限，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
10．【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果．
【解答】解：∵二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
∴二面角A﹣BD﹣C的大小可能为或．
故选：BC．
【点评】本题考查二面角的概念，向量法求解二面角问题，属基础题．
11．【分析】利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
对于A，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），∴与不是共线向量，故A错误；
对于B，＝（2，1，0），＝（，，0），故B正确；
对于C，＝（2，1，0），＝（﹣3，1，1），
∴和夹角的余弦值是：
cs＜＞＝＝＝﹣，故C错误；
对于D，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），
设平面ABC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣2，5），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
12．【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．
【解答】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，
当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；
当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；
直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；
当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了直线与直线位置关系的应用，涉及了直线斜率、直线倾斜角的应用，解题的关键是正确理解直线方程与斜率、倾斜角直线的关系，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式解方程即可．
【解答】解：∵直线的一个方向向量为（2，1），
∴直线l的斜率为k＝，
∴直线l的方程为y﹣1＝（x﹣0），即y＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题考查直线方程、直线的方向向量、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．【分析】由，，三向量共面，得，（x≠0，y≠0），列方程组，能求出结果．
【解答】解：∵，，，，，三向量共面，
∴，（x≠0，y≠0），
∴（2，﹣1，3）＝（﹣x，4x，﹣2x）+（3y，2y，λy）＝（﹣x+3y，4x+2y，﹣2x+λy），
∴，
解得x＝﹣，y＝，
∴实数λ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．【分析】将直线化简为a（x+1）+y﹣3＝0，令，即可求解．
【解答】解：直线ax+y+a﹣3＝0，即a（x+1）+y﹣3＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝3，
故直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
16．【分析】建系，分别求平面DA1C、平面A1CC1的法向量，利用空间向量求二面角．
【解答】解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面DA1C的法向量为，则，
令x＝2，则可得，
由题意可得：平面A1CC1的法向量，
则，
由图形可知：二面角D﹣A1C﹣C1为钝角，所以其余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合空间向量的模公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意．
（2）由题意．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算公式，以及空间向量的模公式，属于基础题．
18．【分析】（1）由题意利用两条直线垂直的条件判断AB⊥BC，可得结论．
（2）先求出AC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求得AC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为＝，直线BC的斜率为＝﹣2，
∴直线AB 和直线BC的斜率之积等于﹣1，故AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
（2）因为直线AC的斜率为＝，所以，AC边上高线所在直线的斜率为﹣，
故AC边上的高所在直线的方程是y﹣1＝﹣（x+1），即3x+4y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
19．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得MN⊥平面PCD．
（2）利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值．
【解答】解：（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则M（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），N（1，1，1），D（0，2，0）．
则，
，所以MN⊥PC，MN⊥PD，
由于PC∩PD＝P，所以MN⊥平面PCD．
（2），，
设平面PMC的法向量为，
则，
令z＝1，则x＝2，y＝﹣1，所以．
设直线PD与平面PMC所成角为θ，则．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于中档题．
20．【分析】（1）由题意可知m≠0，所以有，且≠4，从而求出m的值．
（2）将点P（1，m）的坐标代入直线l2的方程中，求出m的值，从而得到点P的坐标，根据题意可知直线l的斜率一定存在且不为0，设出直线l的方程，利用在两坐标轴上的截距之和为0，列出方程可求出直线l的方程．
【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴两直线的斜率都存在，
∴，且≠4，
∴m＝﹣1．
（2）∵点P（1，m）在直线l2上，
∴m+m﹣4＝0，∴m＝2，
∴P（1，2），
由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1）（k≠0），
令x＝0得，y＝2﹣k，令y＝0得，x＝1﹣，
∵在两坐标轴上的截距之和为0，
∴2﹣k+1﹣＝0，
解得k＝1或2，
∴直线l的方程为x﹣y+1＝0或y＝2x．
【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线平行的位置关系，是基础题．
21．【分析】（1）根据题意可得 ，由此求得k的范围．
（2）由题意可得S＝•OA•OB＝8k+8+，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程．
【解答】解：（1）∵直线l：kx﹣y+2+4k＝0，即 y＝kx+4k+2，
∵它不经过第四象限，
∴，求得k≥0，即k的取值范围为[0，+∞）．
（2）直线l交x轴的负半轴于点A（，0），交y轴的正半轴于点B（0，4k+2），k＜0，
O为坐标原点，设△AOB的面积为S，则S＝•OA•OB＝••（4k+2）＝8k+8+≥8+2＝16，
当且仅当8k＝时，即k＝时，取等号，故S的最小值为16，此时，k＝，直线l：x﹣2y+8＝0．
【点评】本题主要考查确定直线的位置的要素，基本不等式的应用，属于中档题．
22．【分析】（1）运用勾股定理和正方形的性质，推得AC1⊥平面A1BC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）假设在线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设M（x，y，z），＝λ，运用向量共线的坐标表示和向量垂直的数量积的坐标表示，可判断存在性．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝2，BC＝1，AC＝，
有AC2+BC2＝AB2，可得AC⊥BC，
又CC1⊥BC，AC∩CC1＝C，可得BC⊥平面AA1C1C，
即有BC⊥AC1，
由四边形AA1C1C是边长为的正方形，可得A1C⊥AC1，
而BC∩A1C＝C，可得AC1⊥平面A1BC，
又AC1⊂平面ABC1，则平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）在线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，且＝．
理由如下：由（1）可得，以C为原点，
CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则A（，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），A1（，0，），C1（0，0，），
设M（x，y，z），＝λ，
所以（x，y﹣1，z）＝λ（，﹣1，），解得x＝λ，y＝1﹣λ，z＝λ，
所以＝（λ，1﹣λ，λ），＝（0，1，﹣），要使CM⊥BC1，
则需•＝0，即1﹣λ﹣3λ＝0，解得λ＝．
故线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，且＝．
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力、运算能力，属于中档题．