2023-2024学年广东省云浮市罗定中学城东学校高二（上）月考数学试卷（二）

这是一份2023-2024学年广东省云浮市罗定中学城东学校高二（上）月考数学试卷（二），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．（﹣2，4，4）D．
2．（5分）若直线x﹣2y﹣3＝0与mx+3y﹣6＝0互相垂直，则m＝（ ）
A．B．6C．D．﹣6
3．（5分）直线kx﹣y+1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）
4．（5分）设点A（3，﹣3），B（﹣2，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥1或k≤﹣4B．k≥1或k≤﹣2C．﹣4≤k≤1D．﹣2≤k≤1
5．（5分）已知直线x﹣2y+t＝0经过点（2，﹣1），则该直线在y轴上的截距为（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
6．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分别为A1C1，B1B的中点，若，则（x，y，z）＝（ ）
A．（1，﹣，﹣）B．（1，，﹣）
C．（﹣1，，）D．（﹣1，，﹣）
7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若直线mx+ny＝2过点A（2，2），其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示
（多选）10．（5分）满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是（ ）
A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1
B．l1的斜率为，l2经过点A（2，0），
C．l1经过点P（2，1），Q（﹣4，﹣5），l2经过点M（﹣1，2），N（1，0）
D．l1的方向向量为（1，m），l2的方向向量为
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为＝
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（ ）
A．直线B1C∥平面A1BD
B．B1C⊥BD1
C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D．三棱锥C1﹣B1CE的外接球的表面积为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么m＝ ．
14．（5分）已知直线l1：x﹣2y+3＝0与直线l2：2x+3y﹣8＝0的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为 ．
15．（5分）已知，，且，则m+n＝ ．
16．（5分）已知直线l：（2+a）x+（a﹣1）y﹣3a＝0在x轴上的截距的取值范围是（﹣3，3），则其斜率的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
18．（12分）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值．
19．（12分）已知直线l经过直线l1：2x+y﹣5＝0与l2：x﹣2y＝0的交点．
（1）若直线l与直线x﹣y＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，AC＝BC，四边形AA1B1B是边长为2的菱形，∠BAA1＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若点B1到平面ACA1的距离为，求平面BA1A和平面CA1A夹角的余弦值．
21．（12分）已知直线l：ax﹣y+2﹣a＝0恒过点P，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求点P的坐标；
（2）当点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程；
（3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求△AOB的面积．
22．（12分）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝．
（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；
（2）在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分.每个小题仅有一个答案是正确的）
1．【分析】根据已知求出，即可根据投影向量的定义求出答案．
【解答】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
2．【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可．
【解答】解：因为直线x﹣2y﹣3＝0与mx+3y﹣6＝0互相垂直，
所有1×m+（﹣2）×3＝0，解得m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查直线的垂直的充要条件的应用，属于基础题．
3．【分析】直线kx﹣y+1＝3k，即k（x﹣3）﹣y+1＝0，列出方程组，即可求解．
【解答】解：直线kx﹣y+1＝3k，即k（x﹣3）﹣y+1＝0，
令，解得，
故所有直线都通过定点（3，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
4．【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案．
【解答】解：如图，直线PB的斜率为，
直线PA的斜率为，
当直线l与线段AB相交时，
则l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线相交关系及斜率公式，考查数形结合思想，是基础题．
5．【分析】将点（2，﹣1）代入直线x﹣2y+t＝0，求出t，再结合截距的定义，即可求解．
【解答】解：直线x﹣2y+t＝0经过点（2，﹣1），
则2+2+t＝0，解得t＝﹣4，
故直线方程为x﹣2y﹣4＝0，
令x＝0，解得y＝﹣2，
故该直线在y轴上的截距为﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
6．【分析】利用空间向量的运算法则求出，由空间向量基本定理可得x，y，z的值即可得解．
【解答】解：由题意可得＝+++＝﹣﹣++
＝﹣﹣＝x+y+z，
所以x＝1，y＝﹣，z＝﹣，
所以（x，y，z）＝（1，﹣，﹣）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
7．【分析】由题意画出图形，找出直线BB1与平面ACD1所成角，求解三角形得答案．
【解答】解：如图，
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
∵DD1⊥底面ABCD，则DD1⊥AC，
∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面D1DO．
而AC⊂平面ACD1，∴平面D1DO⊥平面ACD1，
又平面D1DO⊥平面ACD1＝D1O，
∴∠DD1O为直线DD1与平面ACD1所成角，
即为直线BB1与平面ACD1所成角．
设正方体棱长为a，则DD1＝a，，
∴．
在Rt△D1DO中，cs∠DD1O＝．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
8．【分析】由点A在直线上可知m+n＝1，结合均值不等式即可求解．
【解答】解：因为直线mx+ny＝2过点A（2，2），所以2m+2n＝2，有m和n都是正实数，
所以m+n＝1，m＞0，n＞0．
所以＝（）（m+n）＝1+2++≥3+2，当时取等号，即m＝﹣1，n＝2﹣时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查均值不等式的运用，属于基础题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合直线倾斜角的性质、直线两点式方程逐一判断即可．
【解答】解：当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，所以A不正确；
当直线的斜率为，倾斜角为，所以B不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，所以C不正确；
根据直线的两点式方程判可得D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
10．【分析】根据直线斜率之积是否为﹣1判断ABC的真假，再由方向向量垂直的数量积表示判断D的真假．
【解答】解：对A，由题意可得直线l1的斜率k1＝tan45°＝1，而直线l2的斜率k2＝1，可得k1•k2＝1≠﹣1，所以A不正确；
对B，由题意直线l1的斜率k1＝﹣，直线l2的斜率k2＝＝，可得k1•k2＝﹣•＝﹣1，所以B正确；
对C，直线l1的斜率k1＝＝1，直线l2的斜率k2＝＝﹣1，可得k1•k2＝1×（﹣1）＝﹣1，所以C正确；
对D，因为（1，m）•（1，﹣）＝1﹣1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线互相垂直的条件的应用，属于基础题．
11．【分析】求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方程判断C 的正误，利用截距相等判断D 的正误．
【解答】解：直线x﹣y﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2＝2，所以A正确；
点（0，2）与（1，1）的中点坐标（，）满足直线方程y＝x+1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），所以B正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为，所以C不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，所以D不正确；
故选：AB．
【点评】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，是易错题．
12．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AB，根据等体积法判断C，由向量法求球心及半径判断D．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则根据题意可得：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），
B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），，
∴，，，，
设平面A1BD的法向量为，
则，即，取，
则∴，∴，
又直线B1C⊄平面A1BD，∴直线B1C∥平面A1BD，∴A正确；
∵，∴，∴B1C⊥BD1，∴B正确；
∵，∴C错误；
设球心坐标为O（x，y，z），则|OC|＝|OC1|＝|OE|＝|OB1|＝R，
由|OC|＝|OC1|可得：（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2，解得，
同理由|OB1|＝|OC1|可得，
又|OB1|＝|OE|，∴，解得，
∴，∴，∴D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查向量法证明线面平行问题，向量法证明垂直问题，三棱锥的外接球问题，属中档题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45°，
则kPQ＝tan45＝1，
又．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式 属于基础题．
14．【分析】联立，得M（1，2），设过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的方程为x+3y+c＝0，把M（1，2）代入，能求出结果．
【解答】解：联立，得，
∴直线l1：x﹣2y+3＝0与直线l2：2x+3y﹣8＝0的交点为M（1，2），
设过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的方程为x+3y+c＝0，
把M（1，2）代入直线l的方程x+3y+c＝0，得1+6+c＝0，
解得c＝﹣7，
∴过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为x+3y﹣7＝0．
故答案为：x+3y﹣7＝0．
【点评】本题考查直线与直线交点坐标、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．【分析】由空间向量的坐标运算求解．
【解答】解：，，
则，，
而，故，
即，解得，m+n＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
16．【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解．
【解答】解：将直线l：（2+a）x+（a﹣1）y﹣3a＝0整理可得：（x+y﹣3）a+2x﹣y＝0，
令，解得x＝1，y＝2，可得直线l过点A（1，2），
由题知，在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），如图所示：
所以端点处直线的斜率分别为，
所以k＞或k＜﹣1．
故答案为：{k|k＞或k＜﹣1}．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k＝﹣2023＝，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）因为倾斜角θ为锐角，则k＝tanθ＞0，而k＝＝＞0，
即（3m+4）（m﹣4）＜0，解得：﹣＜m＜4，
所以m的范围为（﹣，4）；
（2）直线MN的方向向量为，可得k＝﹣2023＝，
解得：m＝．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及直线的方向向量的应用，属于基础题．
18．【分析】（1）利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；（2）根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解．
【解答】解：（1）由已知可得，，
∴．
（2），，
∵，∴存在实数m使得，
∴k﹣2＝7m，4k+2＝﹣2m，﹣2k+4＝﹣14m，联立解得．
【点评】本题空间向量夹角公式以及向量的共线定理，属于中档题．
19．【分析】（1）联立方程组求得l1与l2的交点坐标为（2，1），根据题意，设l的方程为x﹣y+c＝0，将点（2，1）代入方程求得c＝﹣1，即可求解；
（2）解法1：设直线l的方程为，根据题意，列出方程组，求得a，b的值，即可求解；
解法2：设l：y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），求得直线l的横纵截距，根据题意，列出方程求得k的值，即可求解．
【解答】解：（1）联立方程组解得，所以l1与l2的交点坐标为（2，1），
因为直线l与直线x﹣y＝0平行，设l的方程为x﹣y+c＝0（c≠0），
将点（2，1）代入方程x﹣y+c＝0，可得c＝﹣1，所以l的方程为x﹣y﹣1＝0．
（2）解法1：设直线l的方程为，
因为直线l过点（2，1）且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4，
可得，解得a＝4，b＝2，所以直线l的方程为，即x+2y﹣4＝0．
解法2：因为直线l过点（2，1）且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4，
设l：y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），可得直线l的横纵截距分别为1﹣2k＞0，，
所以，解得，所以，即x+2y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查了直线交点的求解及直线平行条件的应用，考查了直线方程的综合应用，属于中档题．
20．【分析】（1）取AB中点O，利用线面垂直判定定理证明AB⊥面A1OC，进而得到AB⊥A1C；
（2）以O为原点建立空间直角坐标系，先求得C点竖坐标，再求得平面BA1A和平面CA1A的法向量夹角余弦值，进而求得平面BA1A和平面CA1A夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB中点O，连接OC，OA1，A1B，
∵AC＝BC，OA＝OB，∴AB⊥OC，
∵△AA1B为正三角形，OA＝OB，
∴AB⊥OA1，
又∵OC∩OA1＝O，OC、OA1⊂面A1OC，
∴AB⊥面A1OC，
又AlC⊂面AlOC，
∴AB⊥A1C；
（2）解：∵CO⊥AB，面ABC⊥平面AA1B1B，面ABC∩面AA1B1B＝AB，
∴CO⊥面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直，
设OC＝h，以O为原点，分别以OA、OA1、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
∴，
设面AA1C的法向量＝（x，y，z），
则，令，可得，
∴，解得h＝，
又面AA1B的法向量＝（0，0，1），而，
则，
所以平面BA1A与平面CA1A夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系以及两平面的夹角计算，属于中档题．
21．【分析】（1）将直线方程化为a（x﹣1）﹣y+2＝0，即可确定定点；
（2）由题意O到直线l的距离d＝|OP|，列方程求参数，即可得直线方程；
（3）由题意，B（0，2﹣a），且a≠0、a≠2，结合基本不等式求|PA|⋅|PB|最小值，确定取值条件，进而求△AOB的面积．
【解答】解：（1）直线l：ax﹣y+2﹣a＝0，整理可得：a（x﹣1）﹣y+2＝0，
可得直线恒过P（1，2）；
（2）要使点O到直线l的距离最大，则OP⊥l，可得|OP|＝＝，
即O到直线l的距离，
两边平方可得：，整理得4a2+4a+1＝（2a+1）2＝0，
所以，
所以，即x+2y﹣5＝0．
（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得A（，0），B（0，2﹣a），且a≠0、a≠2，
因为P（1，2），所以|PA|＝＝2，|PB|＝＝，
所以，仅当a＝±1时等号成立，
所以a＝±1时|PA|⋅|PB|取最小值，
当a＝1，则A（﹣1，0），B（0，1），此时△AOB的面积为；
当a＝﹣1，则A（3，0），B（0，3），此时△AOB的面积为；
所以△AOB的面积为或．
【点评】本题考查点到直线的最大距离的求法，属于基础题．
22．【分析】（1）在图①中，连接AC，交BE于O，可推出AC⊥BE，且，在图②中，相交直线OA，OC1均与BE垂直，则∠AOC1是二面角A﹣BE﹣C1的平面角，由勾股定理可得OA⊥OC1，进而可得答案．
（2）由（1）知，分别以直线OA，OB，OC1为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，λ∈[0，1]，可得的坐标，求出平面ABC1的一个法向量，由于P到平面ABC1的距离为，则，解得λ，设直线EP与平面ABC1所成的角为θ，进而可得答案．
【解答】解：（1）证明：如图所示，
在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE＝60°，
所以AC⊥BE，且，
在图②中，相交直线OA，OC1均与BE垂直，
所以∠AOC1是二面角A﹣BE﹣C1的平面角，
因为，
所以，
所以OA⊥OC1，
所以平面BC1E⊥平面ABED．
（2）由（1）知，分别以直线OA，OB，OC1为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则，，，B（0，1，0），E（0，﹣1，0），
所以，，，，，
设，λ∈[0，1]，
则，
设平面ABC1的一个法向量，
则，
令x＝1，则y＝，z＝1，
所以．
因为P到平面ABC1的距离为，
所以，
解得，
由，得（xP﹣，yP+，zP）＝（﹣，，），
所以xP＝，yP＝﹣，zP＝，
所以，
所以．
设直线EP与平面ABC1所成的角为θ，
所以．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．