新高考数学二轮复习 小题综合练专题07 球体（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 SKIPIF 1 < 0 的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆周上一点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球切母线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.
【详解】设圆锥的内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆锥顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆周上一点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
轴截面如下图示，内切球切母线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故该圆锥的表面积 SKIPIF 1 < 0 为，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B

2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在半径为 SKIPIF 1 < 0 的实心球 SKIPIF 1 < 0 中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则高为 SKIPIF 1 < 0 ，写出圆柱的体积，利用基本不等式求最值，即可得到满足条件的 SKIPIF 1 < 0 值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.
【详解】由球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
设圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则高为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，上式取等号,此时圆柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
（或者令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故当 SKIPIF 1 < 0 取最大值4，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值4）
要使熔成一个球 SKIPIF 1 < 0 的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,
因此熔成的球 SKIPIF 1 < 0 的体积也是 SKIPIF 1 < 0 ，故球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0
故选：D．
3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起，当四面体 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，四面体 SKIPIF 1 < 0 的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.
【详解】不妨设菱形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
此时四面体 SKIPIF 1 < 0 的高最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最大，最大体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以内切球和外接球表面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
4．（2023·浙江·统考一模）已知体积为 SKIPIF 1 < 0 的四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，其外接球半径的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】将四面体ABCD补形为长方体 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，确定四面体ABCD的外接球的球心及半径，结合数量积的性质求外接球半径的最小值.
【详解】将四面体补成长方体 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取到最值．
故选：B.
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的面积公式即可求得答案.
【详解】如图，由题意知包装盒总高度为 SKIPIF 1 < 0 ，即球冠所在球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆柱底面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，设球冠的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故圆柱高为 SKIPIF 1 < 0 ，
故包装盒的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球面积为9π，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积公式可求出三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，求解即可.
【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最小正弦值，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是球心， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的投影，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，

则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形的阳马中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
B．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
C．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为1
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，而 SKIPIF 1 < 0 ，则阳马可补形成正方体 SKIPIF 1 < 0 ，如图，

对于A，由 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
从而异面直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：B
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为两个全等的等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则此刍甍体积的最大值为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 上取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，将刍甍分为两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，进而表示体积为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导数分析单调性，进而求解最大值即可求解.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 上取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 体积相同，
取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 中心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
则等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以刍甍的体积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
9．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】作出表面积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，
设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】表面积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，
显然此时圆 SKIPIF 1 < 0 与等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，表面积最大时球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折（如图2），记四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球为球 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为球心）. SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时，四面体 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】首先得到球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点，然后当 SKIPIF 1 < 0 与球 SKIPIF 1 < 0 相切时直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时四面体 SKIPIF 1 < 0 体积取得最大值，即可求出答案.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 上的动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大，则 SKIPIF 1 < 0 与球 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 最大，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动.
所以当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
11．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上.将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折成锐二面角 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在球 SKIPIF 1 < 0 的表面上，当直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题设知 SKIPIF 1 < 0 共圆，并确定外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 位置，由已知求得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，进而有面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，确定△ SKIPIF 1 < 0 的形状，找到外接圆圆心，利用几何关系求外接球半径，进而求表面积.
【详解】由题设知： SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 均在球 SKIPIF 1 < 0 的表面上，则 SKIPIF 1 < 0 共圆，
由直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在绕 SKIPIF 1 < 0 旋转过程中 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折成锐二面角 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，△ SKIPIF 1 < 0 、△ SKIPIF 1 < 0 都是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知：△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
同时△ SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，且△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
球心 SKIPIF 1 < 0 是过 SKIPIF 1 < 0 并垂直于面 SKIPIF 1 < 0 的直线与过△ SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心垂直于面 SKIPIF 1 < 0 的直线交点，
若球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以球的表面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：确定 SKIPIF 1 < 0 共圆、面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 为关键，利用几何关系求外接球半径.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积最大为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先求 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的半径，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一直线上时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积最大，求解即可．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在过 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 上，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
当球心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积最大，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 延长线上时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积最大，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积最大为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
13．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，找到球心 SKIPIF 1 < 0 满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题.
【详解】
如图，将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，可知P点在面 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在 SKIPIF 1 < 0 上的圆，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 —①，
因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 —②，
联立①②得： SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线与圆相切，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，以AC为折痕将 SKIPIF 1 < 0 折起，使D点达到P点位置，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的补角， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值结合基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理求出三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的补角，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
15．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角 SKIPIF 1 < 0 的斜边 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .若点 SKIPIF 1 < 0 均在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，则球 SKIPIF 1 < 0 表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题设 SKIPIF 1 < 0 共圆（ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 重合），进而确定 SKIPIF 1 < 0 ，找到△ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求外接球半径最小值，即可得结果.
【详解】由点 SKIPIF 1 < 0 均在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，且 SKIPIF 1 < 0 共圆（ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 重合），
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 重合），
又 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为斜边，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
如上图，△ SKIPIF 1 < 0 、△ SKIPIF 1 < 0 、△ SKIPIF 1 < 0 都为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面图到立体图知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 翻折后， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 分别为△ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，它们交于 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 外接球球心，如下图示，
再过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以球 SKIPIF 1 < 0 半径 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故球 SKIPIF 1 < 0 表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，若将 SKIPIF 1 < 0 沿着直线 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，使得四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，利用正弦定理可确定 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径，由此可知 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 即为四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球球心，由球的性质可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可求得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，由此可求得线面角的正弦值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，
由球的性质可知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.
17．（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，过A作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记四面体 SKIPIF 1 < 0 ，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，鳖臑 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，V，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】记四面体 SKIPIF 1 < 0 ，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，鳖臑 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，先证明 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，再利用导函数分析函数的单调性，进而即可求得其值域．
【详解】记四面体 SKIPIF 1 < 0 ，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，鳖臑 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在鳖臑 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；根据对称性，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：先根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，利用导函数分析函数的单调性，进而求得其值域是解答本题的关键．
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 SKIPIF 1 < 0 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ⊥底面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 为最大球的球心，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，
设最大球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
设最小球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，中间球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，则两球均与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，设切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
模型中九个球的表面积和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
19．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球 SKIPIF 1 < 0 ，被两个平面截得圆 SKIPIF 1 < 0 ，记两圆的公共弦为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，依题意，可得如下图形，
由圆的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为二面角的平面角，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
由球的截面性质， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，则有外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三校联考期末）将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先考虑如何将正方形折成三棱锥，求出底面三角形的外心，过外心作底面的垂线，则球心必定在该垂线上，再利用几何关系求出外接球的半径.
【详解】如图1，
分别取AD和AB的中点E，F，连接CE，CF，将正方形ABCD沿CE和CF折起，使得A，B，D重合，构成三棱锥P-CEF，如图2，
由于PE，PF，PC两两垂直，可以补成如图3所示的长方体：
由图1的折法可知： SKIPIF 1 < 0 ，长方体的外接球就是三棱锥P-CEF的外接球，
长方体的对角线长= SKIPIF 1 < 0 ，外接球的半径r= SKIPIF 1 < 0 ，外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·浙江·二模）若圆台 SKIPIF 1 < 0 的上底面面积为下底面面积的一半，体积为 SKIPIF 1 < 0 ，表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设圆台的上底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的解析式，构造函数利用导数求出最值可得结果.
【详解】依题意设圆台的上底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，则下底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆台的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的平面 SKIPIF 1 < 0 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 SKIPIF 1 < 0 变化的过程中，当两个球的半径之和达到最大时，此时较小球的表面积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】用 SKIPIF 1 < 0 的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值，即可求出取得最值时 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】如图所示：平面 SKIPIF 1 < 0 将长方体分成两部分， SKIPIF 1 < 0 有可能在平面 SKIPIF 1 < 0 上或平面 SKIPIF 1 < 0 上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面 SKIPIF 1 < 0 上的情况，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点，

设 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 对应的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形内切圆的性质，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
由内切圆等面积法求得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设圆 SKIPIF 1 < 0 对应的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数性质易知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则小球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，借助单调性解决最值问题，从而求出较小球的表面积.
23．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的平面截球 SKIPIF 1 < 0 所得截面面积的最小值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根据条件可证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球，从而即可求出球 SKIPIF 1 < 0 的半径，过点 SKIPIF 1 < 0 的平面截球 SKIPIF 1 < 0 所得截面面积的最小时，截面与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求得截面圆半径 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，

因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 全等得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，
由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
在正 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 .
从而直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中解得 SKIPIF 1 < 0 .
同理 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球相同，正方体对角线的中点为球心 SKIPIF 1 < 0 .
记外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 的平面截球 SKIPIF 1 < 0 所得截面面积的最小时，截面与 SKIPIF 1 < 0 垂直，此时截面圆半径 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以截面面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上的动点.若点 SKIPIF 1 < 0 在同一球面上，当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，该球的表面积为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ,进而求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再跟据外接球球心O在过 SKIPIF 1 < 0 的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
再根据下图：作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心 SKIPIF 1 < 0 在过 SKIPIF 1 < 0 的外心且垂直面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 上，
连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，
故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,由题可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.
25．（2023·浙江·高三专题练习）正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，记四面体ABCD的内切球为球 SKIPIF 1 < 0 ，四面体PBCD的外接球为球 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，四面体ABCD的内切球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， 且四面体PBCD的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】如图，设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
则四面体ABCD的内切球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， 且四面体PBCD的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
设四面体ABCD的内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由四面体PBCD的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．