新高考数学二轮复习 小题综合练专题06 立体几何（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早､规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已知正四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧棱与底面的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥的体积约为（ ） SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球 SKIPIF 1 < 0 ，被两个平面截得圆 SKIPIF 1 < 0 ，记两圆的公共弦为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）将一个体积为 SKIPIF 1 < 0 的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）建筑物的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，这种建筑叫攒（cuán）尖建筑，其屋顶叫攒尖顶.其特点是屋顶为锥形，没有正脊，顶部集中于一点，即宝顶，该顶常用于亭､榭､阁和塔等建筑.1981年温州江心屿的东西双塔列为温州市第一批文物保护单位.江心屿东塔为六角攒尖顶，其檐平面呈正六边形，它有着与其角数相同的垂脊和围脊，如图所示，它的轮廓可近似看作一个正六棱锥.假设东塔的围脊为 SKIPIF 1 < 0 ，垂脊为 SKIPIF 1 < 0 ，则攒尖坡度（屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值）为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023·浙江·校联考二模）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ，将三角形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到三角形 SKIPIF 1 < 0 ，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形的阳马中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
B．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
C．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为1
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为两个全等的等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则此刍甍体积的最大值为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 为空间内一点且满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 平行的平面，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ，将△ SKIPIF 1 < 0 沿着对角线 SKIPIF 1 < 0 翻折至△ SKIPIF 1 < 0 ，使得线段 SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2023·浙江绍兴·统考二模）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的 SKIPIF 1 < 0 部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，顶点P到底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值的取值范围为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2023·浙江·高三专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 SKIPIF 1 < 0 平面ABC的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与曲池的底面 SKIPIF 1 < 0 垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，则图中四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折（如图2），记四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球为球 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为球心）. SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时，四面体 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图， SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 .连 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折成三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球表面积的最小值时，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
16．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
17．（2023·浙江·高三专题练习）某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲， SKIPIF 1 < 0 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，设棱锥高为 SKIPIF 1 < 0 ，体积为 SKIPIF 1 < 0 ，现将容器以棱 SKIPIF 1 < 0 为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．水的体积为 SKIPIF 1 < 0
B．水的体积为 SKIPIF 1 < 0
C．图甲中的水面高度为 SKIPIF 1 < 0
D．图甲中的水面高度为 SKIPIF 1 < 0
18．（2023·浙江·高三专题练习）如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面FAB
C．直线EA与平面ABCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 D．点E到平面ABF的距离为 SKIPIF 1 < 0
19．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，则（ ）
A．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．对任意的点 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小是 SKIPIF 1 < 0
D．对任意的点 SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积是定值
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 为经过 SKIPIF 1 < 0 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（ ）

A． SKIPIF 1 < 0
B．若点 SKIPIF 1 < 0 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则 SKIPIF 1 < 0
C．若点 SKIPIF 1 < 0 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则球面 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）直三棱桂 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外一点.设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
23．（2023·浙江·统考二模）已知棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与对角线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则（ ）．
A．正方体的每条棱所在直线与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角均相等
B．平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得截面面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 内任一直线所成角的正弦值的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．当平面 SKIPIF 1 < 0 与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
24．（2023·浙江温州·统考三模）如图，圆柱的轴截面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 为圆柱底面圆弧 SKIPIF 1 < 0 的两个三等分点， SKIPIF 1 < 0 为圆柱的母线，点 SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，经过点 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以下结论正确的是（ ）

A． SKIPIF 1 < 0
B．若点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点
C．若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则平面 SKIPIF 1 < 0 与圆柱侧面的公共点到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
25．（2023·浙江金华·统考模拟预测）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的､相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到1916年，美国数学家斯顿（）和米利斯（）首次给出欧氏定义的反例.如图1，八面体 SKIPIF 1 < 0 的每一个面都是边长为2的正三角形，且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反例（ ）
A．共有12个顶点B．共有24条棱
C．表面积为 SKIPIF 1 < 0 D．体积为 SKIPIF 1 < 0
26．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以下选项正确的是（ ）
A．平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 D．二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，对棱 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角都是 SKIPIF 1 < 0 的直线有2条
B．过点 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角都是 SKIPIF 1 < 0 的直线有3条
C．过点 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角都是 SKIPIF 1 < 0 的直线有3条
D．过点 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 的直线有2条
三、填空题
28．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）浑仪（如图）是中国古代用于测量天体球面坐标的观测仪器，它是由一重重的同心圆环构成，整体看起来就像一个圆球.学校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型：同心的小球半径为1，大球半径为R.现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，同时使得小球可以在框架内自由转动，则R的最小值为__________.
29．（2023·浙江·校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为_____________．
30．（2023·浙江·二模）若圆台 SKIPIF 1 < 0 的上底面面积为下底面面积的一半，体积为 SKIPIF 1 < 0 ，表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______.