衡阳县第四中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

这是一份衡阳县第四中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．从0,2,4中任取2个数字,从1,3,5中也任取2个数字,能组成无重复数字的四位数的个数为( )
A.240B.216C.180D.108
2．已知是等差数列的前n项和，，则( )
A.22B.33C.40D.44
3．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，则
5．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是( )
A.图象具有对称性，对称轴是直线
B.当或时，函数值y随x值的增大而增大
C.当或时，函数最小值是0
D.当时，函数的最大值是4
6．八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中.给出下列结论,其中正确的结论为( )
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上投影向量为（其中为与同向的单位向量）
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是( )
A.B.C.D.
8．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最大值为
B.的图象关于点对称
C.是偶函数
D.不等式的解集是
10．若复数,则下列正确的是( )
A.当或时,z为实数
B.若z为纯虚数,则或
C.若复数z对应的点位于第二象限,则
D.若复数z对应的点位于直线上,则或
11．已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,,,,若,则( )
A.
B.
C.M的最小值为
D.M的最大值为
三、填空题
12．已知多项式，则___________.
13．已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为__________.
14．已知函数,其中表示p,q中的最大值,若函数有3个零点,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，.
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
16．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的菱形,,AC与BD交于点O,平面平面ABCD,,,.
（1）求证:平面ABCD;
（2）若,点Q为AE的中点,求二面角的余弦值.
17．已知椭圆的右顶点为,离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和,过点F的直线与C交于M,N两点,直线
与交于点P,证明:点P在定直线上.
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，是函数的两个极值点，证明：恒成立.
19．每年6月中旬到7月中旬,长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气,俗称“梅雨期”.依据某地A河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据,所绘制的频率分布直方图如图甲所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1）以频率作为概率,试求A河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率;
（2）该地A河流域某企业,在今年“梅雨期”,若没受1,2级灾害影响,利润为1000万元;若受1级灾害影响,则亏损200万元;若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案:
试问,若仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：按照是否取到0进行分类:①若从0,2,4取的2个数字中不含0,则共有个无重复数字的四位数;②若从0,2,4取的2个数字中含0,则共有个无重复数字的四位数.因此满足条件的共有个数.
2．答案：B
解析：解法一：因为是等差数列，
所以，
则，所以.
解法二:设等差数列的公差为d，
则由得，，得，
所以.
故选:B.
3．答案：C
解析：因为，所以.又
由求得，所以，所以渐近线方程为.
故本题正确答案为C.
4．答案：B
解析：A选项不正确，因为是可能的;
B选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的;
C选项不正确，因为，时，可能有；
D选项不正确，因为，时，，都是可能的.
故选：B.
5．答案：D
解析：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确；令可得，，，，和是函数图象与x轴的交点坐标.又对称轴是直线，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；由图象可知点和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确；由图象可知，当时，函数值y随x值的减小而增大，当时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当时，函数值4并非最大值，故D错误.故选D.
6．答案：D
解析：由八卦图可知与的夹角为,其大小为,
即与的夹角为,所以A错误;
由向量的平行四边形法则可知,即B错误;
易知,又,所以,
而,所以,即C错误;
易知在上的投影向量为,即D正确.
故选：D.
7．答案：D
解析：因为，由正弦定理得，
所以，所以，由余弦定理得
当且仅当，即时，等号成立，所以，
所以当时，取得最大值，此时，，所以的最大值是.
故选：D.
8．答案：A
解析：，
设，，，
则，所以，则，
故，
所以，
则直线l的倾斜角，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
联立，消y得，
，
设，，
则，
所以.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：由题意可得.,则的
最大值为,故A正确.令,解得,则的图象关于点对称,故B错误.是偶函数,则C正确.,即,即,则,解得,即不等式的解集是,故D正确.
10．答案：ACD
解析：对A：当,;当,,故或时,z均为实数,A正确;
对B：z为纯虚数,则,解得,故B错误;
对C：复数z对应的点位于第二象限,则,解得,故C正确;
对D：复数z对应的点位于直线上,则,
即,解得或,对应复数分别为或,故D正确;
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：在平面直角坐标系内作出函数的图象,如图.显然A正确;
当时,,,故B不正确;
,,,,
,当且仅当.时,取等量,故C正确;
,,M无最大值.故D不正确.
故选AC.
12．答案：74
解析：多项式
的值，即中展开式中x的系数.故.
故答案为:74.
13．答案：
解析：由题意知，，且平面，，所以平面PCD，而平面ABCD，则平面平面ABCD.由条件知，所以.如图，取CD的中点G连接AC，BD，交于点O，则O为正方形ABCD的中心，过点G作平面CDP的垂线，则点O在该垂线上，所以O为四棱锥外接球的球心，由于，
所以四棱锥外接球的体积为.
14．答案：
解析：令,,当时,,在区间内无零点;
当时,,,
当,即时,为函数的零点.
当时,令,则,令,则,令,则,在区间上单调递减,区间上单调递增,,.
当时,在区间内有两个零点.综上,当时函数有三个零点.
15．答案：（1）；
（2）存在，且
解析：（1），
根据正弦定理可得，
，，，，，
在中，运用余弦定理可得
，
，
，
，
（2）
为钝角三角形时，角C必为钝角，
，，
，，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，
，
a为正整数，
16．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明:如图,取BC中点G,连接FG,OG,
因为,所以,
又因为平面平面ABCD,平面平面,
平面,
所以平面ABCD,O,G分别为AC,BC中点,
所以,.
因为,,
,,
所以四边形EFGO为平行四边形,
所以,所以平面ABCD.
（2）如图,以AC所在直线为x轴,BD所在直线为y轴,OE所在直线为z轴建立空间坐标系,设,
,,,,
,,,,,
设平面QBC的法向量,,,
则即,
则.
设平面ABC的法向量,
设二面角的平面角为,为锐角,
所以.
二面角的余弦值.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意可得:.又,则,所以,所以,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）得,所以直线l的方程为,
由,可得,
设,,显然,
所以,,
故.
由题意可得,,则直线的方程为,
直线的方程为.
设直线与的交点坐标为,
则,
故
,
解得,故直线与的交点在直线上.
18．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为，
，
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以在上单调递增；
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
在时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
（2），则的定义域为，，
若有两个极值点，，，则方程的判别式
，且，，所以，
因为，所以，得，
所以
设，其中，
令得，
又，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
即的最大值为，而，
，
从而恒成立.
19．答案：（1）0.155
（2）企业应选择方案二
解析：（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,0.05,
设“梅雨期”水位的第80百分位数为x,
,
,
“梅雨期”水位的第80百分位数为43.75m.
设该河流“梅雨期”水位小于40m为事件,水位在40m至50m为事件,水位大于50m为事件,
,,,
设该地发生1级灾害为事件B,由条形图可知:,,,
,
,
.
（2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为,
发生1级灾害的概率为0.155,发生2级灾害的概率为,
设第i种方案的企业利润为,
若选择方案一,则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元）,
若选择方案二,则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元）,若选择方案三,则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元）,14分由于,故企业应选择方案二.
方案
防控等级
费用（单位:万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
80
方案三
防控2级灾害
200