湖南省衡阳市衡阳县第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（原卷版）

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（原卷版），共5页。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A B.
C. D. x0≤x<2
2. 在中，为的重心，满足，则（ ）
A. B. C. 0D.
3. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面四个命题中的真命题为（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，则
10. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数图象关于对称B.
C D.
11. 已知抛物线过点，则（ ）
A. 拋物线的标准方程可能为
B. 挞物线的标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
13. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为____________.
14. 某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15. 为考察某种药物对预防疾病效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
（1）补全下面的列联表（单位：只）；
（2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性.
参考公式：，其中.
参考附表：
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
17. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
19. 已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

（1）求的单调递增区间；
（2）在中，若，，，求．药物
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
7
服用
8
19
合计
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024