新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题25 圆锥曲线与垂心问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的两个点，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂心在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点O，A，B，若 SKIPIF 1 < 0 的垂心为 SKIPIF 1 < 0 的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上异于顶点的一点，且 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左顶点与右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为底边作一个等腰 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的垂心恰好在 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线上，且 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A．存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
B．存在两个不同的 SKIPIF 1 < 0 ，且一个在区间 SKIPIF 1 < 0 内，另一个在区间 SKIPIF 1 < 0 内
C．存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
D．存在两个不同的 SKIPIF 1 < 0 ，且一个在区间 SKIPIF 1 < 0 内，另一个在区间 SKIPIF 1 < 0 内
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以坐标原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、 SKIPIF 1 < 0 为 半径作圆与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线在第一象限交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，恰有 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 应满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．记椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的垂心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上不与 SKIPIF 1 < 0 重合的动点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 中点纵坐标为2，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2
B．若点 SKIPIF 1 < 0 恰为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率恒为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
10．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上异于顶点的一点，且 SKIPIF 1 < 0 在准线上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 的中点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
B． SKIPIF 1 < 0 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线上时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线上时， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
11．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为2， SKIPIF 1 < 0 为其左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上的三点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线交其渐近线于 SKIPIF 1 < 0 两点.已知 SKIPIF 1 < 0 的内心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 外心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一条直线
B．当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 外心的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 变化时，存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 的垂心在 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上
D．若 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆过定点
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴及双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的三个不同交点构成集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于两不同的点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的垂心为 SKIPIF 1 < 0 ．则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
14．已知抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）的垂心，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
15．已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上， 过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交椭圆C于点 SKIPIF 1 < 0 的垂心为 SKIPIF 1 < 0 ，若垂心 SKIPIF 1 < 0 在y轴上．则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 恰好为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为 SKIPIF 1 < 0 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： SKIPIF 1 < 0 ，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
19．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， SKIPIF 1 < 0 .

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
20．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的垂心为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （斜率为 SKIPIF 1 < 0 ）交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得射线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程
(2)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，且交双曲线C于M，N两点，求证： SKIPIF 1 < 0 的垂心在双曲线C上.
22．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为其焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 的垂心为原点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求证：动点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.