【开学考】2024年新九年级上册数学（湖北武汉专用，人教版）开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册和九上第一章的内容
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平行四边形中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、方程即是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
即是直角三角形，不符合题意；
B、∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、设，则，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，即不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
5．为了铸牢学生的安全意识，近期某校举行了“防溺水”演讲比赛，记分员小丽将位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【答案】A
【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故选：A．
6．将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故选：B．
7．关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，先把代入，得，结合，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0，
∴先把代入，得，
解得，
∵是一元二次方程，
∴，
∴，
∴a的值为，
故选：B．
8．某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示的是这家公司的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可．
【详解】解：由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，
∴选项A符合题意，
故选：A．
9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当时，
B．
C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则
D．若点和点在直线上，则
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确；
B、由图象可知，，原选项错误；
C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误；
D、由图象可知，随的增大而增大，
∵，
∴，原选项错误；
故选A．
10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④．
【详解】解：连接，且令，相交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴只要满足，那么四边形就是平行四边形，
∵点E，F是上的动点，
∴存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故②错误；
只要，则四边形是矩形，
∵，
∴当时，不存在矩形，故③错误；
当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查式子有意义的条件，熟练掌握式子有意义的条件是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．
【详解】解：式子 有意义，
，
，
故答案为：．
12．设α、β是方程的两根，则的值为 ．
【答案】2022
【分析】此题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为，，则，是解题的关键．
【详解】∵α、β是方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：2022．
13．已知点，是一次函数的图象上的两点，则a b（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．根据，得出y随x的增大而减小，根据，得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，是一次函数的图象上的两个点，，
∴，
故答案为：．
14．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程．
【详解】解：设的长度为x尺，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
15．关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
根据关于x的方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得．
所以a的取值范围是．
故答案为：．
16．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．

【答案】或或
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，

则，
菱形的边长为4，，
，
，
是等腰三角形，，
，
如图，当时，
，
点F与点H重合，
；
如图，当时，
，
点E与点H重合，
；
如图，当时，
，
，
；
综上，的长为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共8小题，第17，18，19，20，21题每题8分；第22，23题每题10分；第24题12分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
或，
．
18．如图，在中，．
(1)直接写出的形状是_________；
(2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：直角三角形.
（2）解：由（1）得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
19．如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
（1）根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质，中位线定理，得，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：是对角线上的中点，．
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，，
，
．
20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形．
(1)求、两点的坐标；
(2)求直线所对应的函数表达式．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标
（2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答．
【详解】（1）解：直线，
当时，，，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
（2）四边形是平行四边形，
，，
．
设直线所对应的函数表达式为．
将，代入上式，
得
．
21．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价；
【答案】(1)
(2)售价为60元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：，
解得，
∴，
（2）解：根据题意，得，
解得，
∵售价不得高于100元，
∴，
∴售价为60元；
22．新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本级部学生暑假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为的人的成绩如下：，，，，，，，．
请根据表中的信息完成以下几个问题；
(1)____________，____________；
(2)请写出等级成绩中的中位数为___________，众数为___________；
(3)请补全条形图；
(4)本校共人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为等级及以上的人数是多少？
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)见解析
(4)人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数、众数、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据成绩为的人的成绩的人数即可求出，首先根据组的人数和在扇形图中的度数求出总人数，进而求得的值，然后根据组的人数求出所占的百分比；
（2）根据众数及中位数的概念求解即可；
（3）根据（1）进而补全条形统计图即可；
（4）根据样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）∵成绩为的人的成绩：，，，，，，，，共人，
∴频数
（人）
（人）
所对应的百分比为：，
∴（人），
故答案为：，；
（2）∵成绩为的人的成绩从小到大排序得：，，，，，，，．
出现的次数最多，最中间两个数为，，
∴中位数为，等级成绩的众数为，
故答案为，82；
（3）由，，
补全统计图如下：
（4）（人）
∴该学校学生中成绩为等级及以上的人数是人．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
(3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)点的坐标为
【分析】本题综合考查一次函数的应用．
（1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标；
（3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
【详解】（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
24．如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)60
【分析】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形和菱形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到，，证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到答案；
（3）根据菱形的性质、仿照（2）的证明方法解答即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
，
设与相交于点O，
，
，
；
（3）解：在菱形中，，，
又，
，
则是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设与相交于点O，
，
，
，
，
，
故答案为：60
平均数
中位数
众数
方差
销售单价x（元／件）
55
60
70
销售数量y（件）
75
70
60
竞赛成绩组
频数