辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同角的概念公式求解即可.
【详解】解：，
与角终边相同的角是．
故选：B.
2. 已知，，，若，则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解．
【详解】，，，
则，，
，
则，解得．
故选：D
3. 在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用弧度制下的扇形面积公式,结合圆的垂径定理可解.
【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为
，且弦，
可得，，
扇形的面积为．
故选：B
4. 在梯形中，，，则（ ）
A. 25B. 15C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
分析】由题意得到，根据向量垂直和模长公式即可求解.
【详解】，
又，，
，，，
则.
故选：A
5. 在与中，已知，若对任意这样两个三角形,总有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知有唯一解，且，结合正弦定理可得曲线和水平直线必须有唯一的交点，结合图象分析求解.
【详解】由题意可知：有唯一解，且，
由正弦定理，可得，
所以关于A的方程有唯一解，
可知曲线和水平直线必须有唯一的交点，
则或，解得或．
故选：D.
6. 小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A. 越小越费力，越大越省力B. 始终有
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案．
【详解】根据题意，由于，又由，
则有向量，为邻边的四边形为菱形，
则有，,
对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误；
对于B，由于，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，当时，，D错误．
故选：C.
7. 若，且，，，则，，的大小是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，，，可看成与，的交点的横坐标，结合函数图象即可求解.
【详解】因为若，且，，，
若，则，，显然不符合题意，
若时，，
所以，，，
由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标，

结合函数的图象可知，．
故选：B
8. 已知，其中，.其部分图象如下图，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知先求出函数的一条对称轴，结合对称性求出周期，进而可求，结合特殊点可求，从而可求，把代入即可求解.
【详解】由题意可得，函数图象关于对称，
故，所以，则，
又，，且，所以，所以，
所以.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用三角函数诱导公式分析四个选项得答案．
【详解】，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误．
故选：BC
10. 已知向量，，，则（ ）
A. 在上的投影数量是B. 在上的投影向量是
C. 与夹角的正弦值是D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断.
【详解】因为，，，
所以，，
即，所以，
对于A，在上的投影数量是，故A正确；
对于B，在上的投影向量是，故B错误；
对于C，，所以，
故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：AD
11. 设函数fx=Asinωx+φ（其中，，），若在上具有单调性，且，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知结合正弦及余弦函数的单调性，对称性及周期性分别求出，，再由特殊点的三角函数值可求，进而可求，再由余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为在上具有单调性，所以，又，所以，
因为，
所以的图象关于对称，且关于对称，
所以，，所以，
故时，，B错误；
故，因为，即，，
又，所以，C正确；
所以，所以，所以，A正确；
所以，当时，，所以，
D错误．
故选：AC
12. 在中，，，，则（ ）
A. 的周长是B. 边上的中线长
C. 边上的角平分线长D. 边上的高长
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意利用余弦定理可得的值，即可判断A；，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断B；由以及正弦定理形式的面积公式即可判断C；设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断D.
【详解】因为在中，，，，
所以由余弦定理得，
所以的周长是，故A正确；
设边上的中线为AD，则，两边平方，
可得，解得，故B错误；
设边上的角平分线为，则，
则由得，
所以，解得，故C正确；
设边上的高为，因为，，，，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知三角形一边及其对角，如已知的一边及其对角，则
（1）求角平分线常用等面积公式即来求解；
（2）求（为边上的点且满足）常用向量法先得，再两边平方来求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，满足条件的的集合是_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用辅助角公式化简不等式，再利用正弦函数的性质，求解即可．
【详解】，
则，，解得，，
又，则满足条件的的集合是．
故答案为：.
14. 将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【详解】函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：
15. 已知，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值.
【详解】由，得，即，
.
故答案为：
16. 在中，为边上的任一点，若，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】化简已知等式可得，结合余弦定理可得，可求，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值.
【详解】设的内角，，的对边分别为，，，

因为，所以，
又由余弦定理可得，
所以，可得，
可得，即，即，
所以由余弦定理，可得，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.

（1）求的值；
（2）若，求P的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，即可求解；
（2）利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标.
【小问1详解】
因为点在单位圆上且，所以，得.
即，且由三角函数定义知，，，
故.
【小问2详解】
由题意：，
，
故.
18. 如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.

（1）设，，用，表示向量；
（2）求证：M，N，C三点共线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可.
（2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
且由（1）知，所以，
所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线.
19. （1）已知，，求满足，的点D的坐标；
（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解；
（2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值.
【详解】（1）设D点坐标为，则，，
所以，解得或，
即点D的坐标为2,1或-2,3.
（2）由向量与共线，
令，，则，
而向量，为单位向量，且，
于是得
，（当且仅当时取“=”），
所以的最小值为.
20. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据余弦定理将角化为边，化简后，再根据余弦定理求角；
方法二：根据正弦定理将边化为角，再根据三角函数两角和差公式化简，即可求解；
（2）根据余弦定理和锐角三角形的性质，求，再代入三角形面积公式，即可求解.
【小问1详解】
（方法一：）由余弦定理得：，
又由题知：，
所以，化简得，
所以：，
因为，故.
（方法二：）由正弦定理得：，
因为
所以：，
因为，故.
【小问2详解】
由余弦定理：，
整理得，解得或.
当时，，最大角B是钝角，为钝角三角形，舍去；
当时，，最大角B是锐角，为锐角三角形，符合题意.
所以.
21. 已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.
（1）求解析式；
（2）若函数在上有两个零点，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式；
（2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值.
【小问1详解】
由题对任意，都有，故当时，取得最大值.
因为在是单调函数，且的图象关于点对称，
所以得，所以
又因为函数在时取得最大值，所以，，
即，.因为，所以，
所以：.
【小问2详解】
因为，令，则
在内的图象如图所示，

由题函数有两个零点，，
即与在内有两个交点，，
数形结合可得：，，即，
所以.
22. 已知a，b，c分别为中角A，B，C对边，G为的重心，为边上的中线.
（1）若的面积为，且，，求的长；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据三角形的面积公式，判断的形状，再根据几何关系以及余弦定理求；
（2）方法一，首先由是直角三角形，设，则，，在和和中，分别利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解；
方法二，以向量为基底，表示向量，，利用数量积，表示，再利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
由题可知：，
即，所以，
从而为等边三角形，则，，
因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以
在中，由余弦定理得：
，
所以.
【小问2详解】
（方法一：）由，且为中点，则，
不妨设，则，，
在中，由余弦定理：①，
又因为，
易得：②
由①②解得：
，（当且仅当时取“=”）
故的最小值为.
（方法二：）∵
，
同理：，
由，得，
即
，
即，
∴，
当且仅当时，取“=”
故的最小值为.