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2024年山东省青岛市崂山区中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，93分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共27分）
一、单选题（每小题3分，共9小题，27分）
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【分析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下图是由三个大小一样的正方体摆放成的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看物体得到的正投影图叫主视图．根据概念即可得到答案．
【详解】解：它的主视图，即从正面看到的图形为：
，
故选B．
【点睛】本题考查三视图，掌握三视图的概念，观察各视图的形状特征是解题的关键，注意看不到的棱应用虚线表示．
3. 亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000科学记数法表示为（ ）
A. 4.4×107B. 4.4×106C. 0.44×107D. 4.4×103
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】44000000的小数点向左移动7位得到4.4，
所以44000000用科学记数法表示为4.4×107，
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】先将根式进行化简，再利用两个数互为相反数的定义来判定求解．
【详解】A．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
B．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
C．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
D．，即和互为相反数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根式的化简和互为相反数的定义，将根式进行化简是解答关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，此项错误，不符题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项正确，符合题意；
D、，此项错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 如图，已知∥，直线分别交、于点、，NG平分,若则的度数为（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 35°
【答案】D
【解析】
【详解】已知AB∥CD，∠1=70°，根据平行线的性质可得∠MND=∠1=70°，再由NG平分∠MND，根据角平分线的定义可得∠3=∠MND=35°，因AB∥CD，根据平行线的性质可得∠2=∠3=35°．故选D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于于x轴对称的△A2B2C2，则点B的对应点B2的坐标是（ ）
A. （﹣3，2）B. （2，﹣3）C. （1，2）D. （﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1中点B的对应点B1坐标，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2中B2的坐标，即可得出答案．
【详解】解：把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，
此时点B（-5，2）的对应点B1坐标为（-1，2），
则与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2中B2的坐标为（-1，-2），
故选D．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
8. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与相交于点，若，，则的长度是( ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】在矩形ABCD中，在矩形ABCD中，∠B=90°，，得到=30°，求得BC=，根据折叠的性质得到A=AB=3，∠AC=∠BAC，推出AF=CF，设DF=m，则AF=CF=3−m，，根据勾股定理结论得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
∵AB=3，，
∴=30°，
∴BC=AB=，
∵△ABC沿对角线对折，得到△AC，
∴A=AB=3，∠AC=∠BAC，
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠AC=∠DCA，
∴AF=CF，
设DF=m，则AF=CF=3−m，
∵AD2+DF2=AF2，
∴()2+m2=(3−m)2，
∴m=1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，矩形的性质和应用，以及解直角三角形的方法，要熟练掌握．
9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④．
【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．
故选：B．
第Ⅱ卷（共93分）
二、填空题（每题3分，共6小题，18分）
10. 计算=___________
【答案】1.
【解析】
【分析】先化简式子中的二次根式，三角函数以及负指数幂然后再计算；
【详解】原式
故答案是：1.
【点睛】本题主要考查实数的计算，熟练掌握实数的计算步骤是解决本题的关键.
11. 王老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车改为骑自行车．已知王老师家距学校10km，自驾车的速度是自行车速度的4倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多h．如果设骑自行车的速度为xkm/h，则由题意可列方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】设骑自行车的速度为xkm/h，则自驾车的速度是4xkm/h，根据题意列分式方程即可．
【详解】解：设骑自行车的速度为xkm/h，则自驾车的速度是4xkm/h，由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，列分式方程，理解题意掌握题中的等量关系是解题的关键．
12. 一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
13. 已知关于x的一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△＞0，由此即可求出m的取值范围，需要注意二次项系数不为0即可．
【详解】解：由题意可知，一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且二次项系数m-1≠0，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式与根的个数问题，属于基础题，计算过程中细心，特别注意一元二次方程的二次项系数不为0．
14. 如图，点C是以点O为圆心，为直径的半圆上一点，连接，，．若，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，正弦函数等；过点C作于H，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再由正弦函数定义即可求解；掌握圆的基本性质，能利用面积法求出的长是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作于H，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有_________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即结论①正确；
∵，
∴，
∴，即结论③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又∵，
∴的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
三、作图题
用圆规和直尺作图，不写过程，但要保留作图痕迹
16. 已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C．
【详解】作法：(1)作，
(2)作的平分线，并在射线上截取，
(3)过点D作直线分别交的两边于B，C，
则为所求的三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图．
四、解答题
17 （1）化简：
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是分式的除法运算，一元一次不等式组的解法；
（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
18. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，游戏规则如下：盘被分成面积相等的个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是的倍数，则小明赢得游戏．
（1）小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率为 ；
（2）这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】（1）
（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵盘被分成面积相等的个扇形，
∴小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率，
故答案为：；
【小问2详解】
解：公平，理由如下：
∵盘中小的扇形区域所占的圆心角是，
∴盘中大的扇形区域所占的圆心角，
∴可以理解为盘中有两块圆心角是的数字的扇形区域，
∴列表如图所示：
由表得：共有种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有种，小明赢得游戏的结果有种，
∴小红赢得游戏的概率为：，
小明赢得游戏的概率为：，
∵，
∴这个游戏对双方公平．
19. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮．某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
其中这一组的数据如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中______，______，______；
（2）抽取的第3组学生竞赛成绩的众数是___________；
（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分．
【答案】（1）5； 14；
（2）64 （3）
【解析】
【分析】（1）用接受调查的总人数乘以这一组别的频数即可求出a，进而求出b，再用b除以接受调查的总人数即可得到答案；
（2）根据众数的定义进行求解即可；
（3）根据加权平均数的定义求出样本中的加权平均成绩进而估计总体的平均成绩即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：∵成绩为64出现了10次，出现的次数最多，
∴抽取的第三组学生竞赛成绩的众数是64，
故答案为：64；
【小问3详解】
解：，
∴估计所有学生成绩的平均分为．
【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表，求众数和加权平均数，用样本估计总体，灵活应用所学知识是解题关键．
20. 如图，是的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，证明，即可得到结论；
（）连接，，，证明，从而可得，代入求出，由，则，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，即可证明，从而可得，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴CE是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形以及扇形面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21. 如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析 （2）16°
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可知，，，根据三角形外角的性质可知，，可得；
（2）根据（1）的方法求解即可；
（3）由（1）（2）的规律可知，．
【小问1详解】
解：结论：=32°；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的定义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴．
【小问2详解】
解：∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴
【小问3详解】
解：由（1）（2）可知，
，
，
，
…，
∴．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
22. 如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，，，根据解直角三角形即可；
（2）作，交延长线于，由（1）可知，，，由可求得，由，可知，由此可得，，，可计算出小明到达游客中心所需时间，进而可得爸爸速度．
【小问1详解】
解：如图，
由A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，
可知，，
由在点C处测得点B在北偏西，可知，
∴，
∴，
∵，
∴（米）
【小问2详解】
作，交延长线于，
由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则：，
小明到达游客中心所需时间为：分钟，
若要同时到达，则爸爸的速度为：米/分
即：爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【点睛】本题考查解直角三角形——方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
23. 如图，的两条对角线相交于点，点是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，四边形是什么四边形？说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AFBO是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FBE＝∠COE，由ASA证得两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BF＝OC，进而得到BF＝OA，然后证明四边形AFBO是平行四边形，当时，可得平行四边形ABCD是矩形，则OA＝OC＝OB＝OD，进而可得四边形AFBO是菱形．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴BE＝OE，
∵BF∥AC，
∴∠FBE＝∠COE，
在△FBE和△COE中，，
∴△FBE≌△COE（ASA）；
【小问2详解】
当AC＝BD时，四边形AFBO是菱形．
理由：∵△FBE≌△COE，
∴BF＝OC，
∵在中，OA＝OC，
∴BF＝OA，
又∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴平行四边形AFBO是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及菱形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
24. 某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表：
（1）与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该公司投资了甲、乙两款产品．
①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？
②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率）
【答案】（1），
（2）①6万元；②40万元
【解析】
【分析】（1）设，将表中数据代入计算即可求出答案；
（2）①根据题意列出等式即可得到答案；
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，计算出当时，w有最大值，最大值为，即可得到解答．
【小问1详解】
设，将代入，
解得，
，
设，
将和和代入，
，解得，
．
【小问2详解】
①由题意得：，
故，
解得：（舍去），．
乙产品投入的成本是6万元．
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，
投入乙产品为n万元，则投入甲产品为万元，
，
抛物线开口向下，，
当时，w有最大值，最大值为．
，
解得．
答：该公司共投入成本是40万元．
25. 已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；
（3）连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）当时，四边形是平行四边形
（2）y与t之间的函数关系式为
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据若四边形是平行四边形，则，列式即可求解；
（2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出，从而应用转换思想，由，即可求解；
（3）假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，设与相交于点E，则分和两种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：若四边形是平行四边形，则，反之也成立，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由题意得
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
，
y与t之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：存在；
假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，
设与相交于点E，
①当时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
②当时，
同理可得：，
即，
解得：，
当的值为或时，与的交点把线段分成的两部分．
【点睛】本题考查了二次函数与平行四边形综合，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能根据线段比值不同进行分类讨论是解题的关键．
盘
盘
1
2
3
4
5
5
10
15
20
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
组号
成绩
频数
频率
1
2
2
a
3
18
4
9
5
b
m
6
2
合计
50
投入成本x（万元）
…
1
2
4
8
…
甲产品利润（万元）
…
0.5
1
2
4
…
乙产品利润（万元）
…
2.25
4
6
4
…
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，93分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共27分）
一、单选题（每小题3分，共9小题，27分）
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【分析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下图是由三个大小一样的正方体摆放成的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看物体得到的正投影图叫主视图．根据概念即可得到答案．
【详解】解：它的主视图，即从正面看到的图形为：
，
故选B．
【点睛】本题考查三视图，掌握三视图的概念，观察各视图的形状特征是解题的关键，注意看不到的棱应用虚线表示．
3. 亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000科学记数法表示为（ ）
A. 4.4×107B. 4.4×106C. 0.44×107D. 4.4×103
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】44000000的小数点向左移动7位得到4.4，
所以44000000用科学记数法表示为4.4×107，
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】先将根式进行化简，再利用两个数互为相反数的定义来判定求解．
【详解】A．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
B．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
C．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
D．，即和互为相反数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根式的化简和互为相反数的定义，将根式进行化简是解答关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，此项错误，不符题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项正确，符合题意；
D、，此项错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 如图，已知∥，直线分别交、于点、，NG平分,若则的度数为（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 35°
【答案】D
【解析】
【详解】已知AB∥CD，∠1=70°，根据平行线的性质可得∠MND=∠1=70°，再由NG平分∠MND，根据角平分线的定义可得∠3=∠MND=35°，因AB∥CD，根据平行线的性质可得∠2=∠3=35°．故选D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于于x轴对称的△A2B2C2，则点B的对应点B2的坐标是（ ）
A. （﹣3，2）B. （2，﹣3）C. （1，2）D. （﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1中点B的对应点B1坐标，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2中B2的坐标，即可得出答案．
【详解】解：把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，
此时点B（-5，2）的对应点B1坐标为（-1，2），
则与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2中B2的坐标为（-1，-2），
故选D．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
8. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与相交于点，若，，则的长度是( ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】在矩形ABCD中，在矩形ABCD中，∠B=90°，，得到=30°，求得BC=，根据折叠的性质得到A=AB=3，∠AC=∠BAC，推出AF=CF，设DF=m，则AF=CF=3−m，，根据勾股定理结论得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
∵AB=3，，
∴=30°，
∴BC=AB=，
∵△ABC沿对角线对折，得到△AC，
∴A=AB=3，∠AC=∠BAC，
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠AC=∠DCA，
∴AF=CF，
设DF=m，则AF=CF=3−m，
∵AD2+DF2=AF2，
∴()2+m2=(3−m)2，
∴m=1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，矩形的性质和应用，以及解直角三角形的方法，要熟练掌握．
9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④．
【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．
故选：B．
第Ⅱ卷（共93分）
二、填空题（每题3分，共6小题，18分）
10. 计算=___________
【答案】1.
【解析】
【分析】先化简式子中的二次根式，三角函数以及负指数幂然后再计算；
【详解】原式
故答案是：1.
【点睛】本题主要考查实数的计算，熟练掌握实数的计算步骤是解决本题的关键.
11. 王老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车改为骑自行车．已知王老师家距学校10km，自驾车的速度是自行车速度的4倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多h．如果设骑自行车的速度为xkm/h，则由题意可列方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】设骑自行车的速度为xkm/h，则自驾车的速度是4xkm/h，根据题意列分式方程即可．
【详解】解：设骑自行车的速度为xkm/h，则自驾车的速度是4xkm/h，由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，列分式方程，理解题意掌握题中的等量关系是解题的关键．
12. 一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
13. 已知关于x的一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△＞0，由此即可求出m的取值范围，需要注意二次项系数不为0即可．
【详解】解：由题意可知，一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且二次项系数m-1≠0，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式与根的个数问题，属于基础题，计算过程中细心，特别注意一元二次方程的二次项系数不为0．
14. 如图，点C是以点O为圆心，为直径的半圆上一点，连接，，．若，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，正弦函数等；过点C作于H，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再由正弦函数定义即可求解；掌握圆的基本性质，能利用面积法求出的长是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作于H，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有_________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即结论①正确；
∵，
∴，
∴，即结论③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又∵，
∴的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
三、作图题
用圆规和直尺作图，不写过程，但要保留作图痕迹
16. 已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C．
【详解】作法：(1)作，
(2)作的平分线，并在射线上截取，
(3)过点D作直线分别交的两边于B，C，
则为所求的三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图．
四、解答题
17 （1）化简：
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是分式的除法运算，一元一次不等式组的解法；
（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
18. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，游戏规则如下：盘被分成面积相等的个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是的倍数，则小明赢得游戏．
（1）小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率为 ；
（2）这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】（1）
（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵盘被分成面积相等的个扇形，
∴小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率，
故答案为：；
【小问2详解】
解：公平，理由如下：
∵盘中小的扇形区域所占的圆心角是，
∴盘中大的扇形区域所占的圆心角，
∴可以理解为盘中有两块圆心角是的数字的扇形区域，
∴列表如图所示：
由表得：共有种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有种，小明赢得游戏的结果有种，
∴小红赢得游戏的概率为：，
小明赢得游戏的概率为：，
∵，
∴这个游戏对双方公平．
19. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮．某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
其中这一组的数据如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中______，______，______；
（2）抽取的第3组学生竞赛成绩的众数是___________；
（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分．
【答案】（1）5； 14；
（2）64 （3）
【解析】
【分析】（1）用接受调查的总人数乘以这一组别的频数即可求出a，进而求出b，再用b除以接受调查的总人数即可得到答案；
（2）根据众数的定义进行求解即可；
（3）根据加权平均数的定义求出样本中的加权平均成绩进而估计总体的平均成绩即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：∵成绩为64出现了10次，出现的次数最多，
∴抽取的第三组学生竞赛成绩的众数是64，
故答案为：64；
【小问3详解】
解：，
∴估计所有学生成绩的平均分为．
【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表，求众数和加权平均数，用样本估计总体，灵活应用所学知识是解题关键．
20. 如图，是的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，证明，即可得到结论；
（）连接，，，证明，从而可得，代入求出，由，则，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，即可证明，从而可得，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴CE是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形以及扇形面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21. 如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析 （2）16°
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可知，，，根据三角形外角的性质可知，，可得；
（2）根据（1）的方法求解即可；
（3）由（1）（2）的规律可知，．
【小问1详解】
解：结论：=32°；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的定义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴．
【小问2详解】
解：∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴
【小问3详解】
解：由（1）（2）可知，
，
，
，
…，
∴．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
22. 如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，，，根据解直角三角形即可；
（2）作，交延长线于，由（1）可知，，，由可求得，由，可知，由此可得，，，可计算出小明到达游客中心所需时间，进而可得爸爸速度．
【小问1详解】
解：如图，
由A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，
可知，，
由在点C处测得点B在北偏西，可知，
∴，
∴，
∵，
∴（米）
【小问2详解】
作，交延长线于，
由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则：，
小明到达游客中心所需时间为：分钟，
若要同时到达，则爸爸的速度为：米/分
即：爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【点睛】本题考查解直角三角形——方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
23. 如图，的两条对角线相交于点，点是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，四边形是什么四边形？说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AFBO是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FBE＝∠COE，由ASA证得两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BF＝OC，进而得到BF＝OA，然后证明四边形AFBO是平行四边形，当时，可得平行四边形ABCD是矩形，则OA＝OC＝OB＝OD，进而可得四边形AFBO是菱形．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴BE＝OE，
∵BF∥AC，
∴∠FBE＝∠COE，
在△FBE和△COE中，，
∴△FBE≌△COE（ASA）；
【小问2详解】
当AC＝BD时，四边形AFBO是菱形．
理由：∵△FBE≌△COE，
∴BF＝OC，
∵在中，OA＝OC，
∴BF＝OA，
又∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴平行四边形AFBO是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及菱形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
24. 某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表：
（1）与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该公司投资了甲、乙两款产品．
①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？
②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率）
【答案】（1），
（2）①6万元；②40万元
【解析】
【分析】（1）设，将表中数据代入计算即可求出答案；
（2）①根据题意列出等式即可得到答案；
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，计算出当时，w有最大值，最大值为，即可得到解答．
【小问1详解】
设，将代入，
解得，
，
设，
将和和代入，
，解得，
．
【小问2详解】
①由题意得：，
故，
解得：（舍去），．
乙产品投入的成本是6万元．
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，
投入乙产品为n万元，则投入甲产品为万元，
，
抛物线开口向下，，
当时，w有最大值，最大值为．
，
解得．
答：该公司共投入成本是40万元．
25. 已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；
（3）连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）当时，四边形是平行四边形
（2）y与t之间的函数关系式为
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据若四边形是平行四边形，则，列式即可求解；
（2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出，从而应用转换思想，由，即可求解；
（3）假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，设与相交于点E，则分和两种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：若四边形是平行四边形，则，反之也成立，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由题意得
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
，
y与t之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：存在；
假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，
设与相交于点E，
①当时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
②当时，
同理可得：，
即，
解得：，
当的值为或时，与的交点把线段分成的两部分．
【点睛】本题考查了二次函数与平行四边形综合，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能根据线段比值不同进行分类讨论是解题的关键．
盘
盘
1
2
3
4
5
5
10
15
20
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
组号
成绩
频数
频率
1
2
2
a
3
18
4
9
5
b
m
6
2
合计
50
投入成本x（万元）
…
1
2
4
8
…
甲产品利润（万元）
…
0.5
1
2
4
…
乙产品利润（万元）
…
2.25
4
6
4
…
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