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山东省青岛市崂山区崂山区育才学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一时刻的阳光下，希希的影子比望望的影子长，那么在同一路灯下（ ）．
A. 希希的影子比望望的影子长B. 希希的影子比望望的影子短
C. 希希和望望的影子一样长D. 无法判断谁的影子长
3. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知都在反比例函数图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）．
A. 210B. 120C. 504D. 60
8. 已知二次函数图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
10. 如图所示是一个几何体三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是________．
11. 如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为________．
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且，则k的值为___________．
14. 如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE=3，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为____________．
15. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是_________（填序号）．
三、作图题（本题满分4分）
16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，直线及外一点A．
求作：矩形，使边在直线上，对角线．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17. 计算：
（1）（配方法）；
（2）（用适当方法）．
18. 小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
19. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
21. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
（1）任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
22. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
23. 如图，在中，是边上中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
24. 公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．
（1）如图①，求点B、C、D坐标．
（2）如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当时，求S的最大值（直接写出结果即可）．桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一时刻的阳光下，希希的影子比望望的影子长，那么在同一路灯下（ ）．
A. 希希的影子比望望的影子长B. 希希的影子比望望的影子短
C. 希希和望望的影子一样长D. 无法判断谁的影子长
3. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知都在反比例函数图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）．
A. 210B. 120C. 504D. 60
8. 已知二次函数图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
10. 如图所示是一个几何体三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是________．
11. 如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为________．
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且，则k的值为___________．
14. 如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE=3，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为____________．
15. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是_________（填序号）．
三、作图题（本题满分4分）
16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，直线及外一点A．
求作：矩形，使边在直线上，对角线．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17. 计算：
（1）（配方法）；
（2）（用适当方法）．
18. 小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
19. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
21. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
（1）任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
22. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
23. 如图，在中，是边上中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
24. 公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．
（1）如图①，求点B、C、D坐标．
（2）如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当时，求S的最大值（直接写出结果即可）．桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
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