2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第五节椭圆

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第五节椭圆，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的____________，两焦点间的距离叫做椭圆的____________．
2．椭圆的标准方程和几何性质
【常用结论】
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
2S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤(PF1+PF22)2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(4)椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
2．(教材改编)已知椭圆C：x2a2+y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A．13 B．12 C．22 D．223
3．(教材改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是________________________．
4．(易错)已知椭圆x236+y225＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．
5．(易错)已知椭圆x25+y2m＝1(m>0)的离心率e＝105，则m的值为________．
第五节 椭圆
必备知识
1．常数 焦点 焦距
2．－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 坐标轴 原点 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) 2c ca c2＝a2－b2
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.故选C.
答案：C
3．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2-c2＝4，故点P的轨迹方程为x225+y216＝1.
答案：x225+y216＝1
4．解析：根据题意得椭圆x236+y225＝1中，a＝6，
P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|＝3，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝12.
又|PF1|＝3，
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
答案：9
5．解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝5-m，由ca＝105，即5-m5＝105，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝m-5.由ca＝105，即m-5m＝105，解得m＝253.
答案：3或253焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图形
范围
________________________
________________________
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
A1________，
A2________，
B1________，
B2________
A1________，
A2________，
B1________，
B2________
轴长
长轴A1A2的长为________；
短轴B1B2的长为________
焦点
F1______，F2______
F1______，F2______
焦距
|F1F2|＝________
离心率
e＝________∈(0，1)
a，b，c的关系
________