2025年高考数学一轮复习-4.3.1-两角和、差及倍角公式-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-4.3.1-两角和、差及倍角公式-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 cs 165∘= 等内容，欢迎下载使用。

1. cs 18∘cs 42∘−cs 72∘sin 42∘= （ ）.
A. −32B. 32C. −12D. 12
2. cs 165∘= （ ）.
A. −6+24B. 6+24C. 6−24D. 2−64
3. 已知P1,7是角α 的终边上一点，则sinπ−2α=（ ）.
A. −725B. −2425C. 725D. 2425
4. 已知θ∈(π4,π2)，且cs θ−π4=45，则tan θ=（）.
A. 17B. 43C. 7D. 125
5. 已知sin α+sin β=35,cs α+cs β=45，则csα−β=（ ）.
A. −12B. −13C. 12D. 34
6. 在△ABC中，若sin Asin B=121+cs C，则△ABC是（ ）.
A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
7. 若2sin βsinα−π4=sinα−β+π4，则tanα+β=（）.
A. −1B. 1C. −2D. 2
8. 若0<α<π2，0<β<π2，cs α=13，cs β=33，则sinα+β=（ ）.
A. 69B. 539C. 63D. 33
综合提升练
9. （多选题）已知△ABC不是直角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则（ ）.
A. sin C=sinA+BB. cs C=csA+B
C. tan C=tan A+tan Btan Atan B−1D. a=bcs C+ccs B
10. （多选题）下列式子的运算结果为3的是（ ）.
A. tan 25∘+tan 35∘+3tan 25∘tan 35∘B. 2sin 35∘cs 25∘+cs 35∘cs 65∘
C. 1+tan 15∘1−tan 15∘D. tanπ61−tan2π6
11. 已知csα−π6+sin α=435，则sinα+7π6=__________.
12. 已知sin π4−α=−55,sin 3π4+β=1010，且α∈(π4,3π4),β∈(0,π4)，则α−β 的值为________
应用情境练
13. （双空题）如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为θ ，且tan θ=2，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，当tan∠POC=________时，矩形ABCD的周长最大，且周长的最大值为________ .
14. 如图，在带有坐标系的单位圆O中，设∠AOx=α ，∠BOx=β ，∠AOB=α−β .
（1）利用单位圆、向量知识证明：csα−β=cs α⋅cs β+sin αsin β .
（2）若α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，csα−β=−45，tan α=−512，求cs β 的值.
创新拓展练
15. 如图1，正方形ABCD的边长为2，M为线段CD的中点.现把正方形按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF=θ ，则sinθ+π4=________
16. 如图，圆O的半径为22，直线AN与圆相切，点M在线段AN上，AM=2MN，且MN=22，圆O上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处，记∠AOP=θ ，θ∈0,π，四边形OANP的面积为S.
（1）当θ=2π3时，求S的值；
（2）试确定θ 的值，使得△AOP的面积等于△APM的面积的一半.
2025年高考数学一轮复习-两角和、差及倍角公式-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. cs 18∘cs 42∘−cs 72∘sin 42∘= （ D ）.
A. −32B. 32C. −12D. 12
[解析]原式=cs 18∘cs 42∘−sin 18∘sin 42∘=cs18∘+42∘=cs 60∘=12.故选D.
2. cs 165∘= （ A ）.
A. −6+24B. 6+24C. 6−24D. 2−64
[解析]因为cs 165∘=cs90∘+75∘=−sin 75∘ ，又sin 75∘=sin30∘+45∘=sin 30∘cs 45∘+cs 30∘sin 45∘=12×22+32×22=2+64，所以cs 165∘=−sin 75∘=−2+64.故选A.
3. 已知P1,7是角α 的终边上一点，则sinπ−2α=（ C ）.
A. −725B. −2425C. 725D. 2425
[解析]P1,7 是角α 的终边上一点，由三角函数定义可得，
sin α=712+72=752，cs α=112+72=152，
所以sinπ−2α=sin 2α=2sin αcs α=2×752×152=725.故选C.
4. 已知θ∈(π4,π2)，且cs θ−π4=45，则tan θ=（ C ）.
A. 17B. 43C. 7D. 125
[解析]因为θ∈(π4,π2)，所以θ−π4∈(0,π4).
又csθ−π4=45，所以sinθ−π4=35，tanθ−π4=34，
所以tan θ−11+tan θ=34，解得tan θ=7.故选C.
5. 已知sin α+sin β=35,cs α+cs β=45，则csα−β=（ A ）.
A. −12B. −13C. 12D. 34
[解析]因为sin α+sin β=35，
所以sin2α+sin2β+2sin αsin β=925. ①
因为cs α+cs β=45，所以cs2α+cs2β+2cs αcs β=1625. ②
由①+②，得2+2csα−β=1，
所以csα−β=−12.故选A.
6. 在△ABC中，若sin Asin B=121+cs C，则△ABC是（ C ）.
A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
[解析]∵A+B=π−C,
∴cs C=−csA+B=−cs Acs B+sin Asin B,
∴sin Asin B=121−cs Acs B+sin Asin B,
∴cs Acs B+sin Asin B=1,即csA−B=1,
又A,B为△ABC 的内角，∴A−B=0，
∴A=B，故△ABC 为等腰三角形.故选C.
7. 若2sin βsinα−π4=sinα−β+π4，则tanα+β=（ A ）.
A. −1B. 1C. −2D. 2
[解析]由题意得2sin β22sin α−22cs α=22sinα−β+22csα−β，
所以2sin αsin β−2cs αsin β=sin αcs β−cs αsin β+cs αcs β+sin αsin β ，
即sin αcs β+cs αsin β+cs αcs β−sin αsin β=0，
即sinα+β+csα+β=0，显然csα+β≠0，故tanα+β=−1.故选A.
8. 若0<α<π2，0<β<π2，cs α=13，cs β=33，则sinα+β=（ C ）.
A. 69B. 539C. 63D. 33
[解析]由0<α<π2，0<β<π2，cs α=13，cs β=33，
得sin α=1−cs2α=223，sin β=1−cs2β=63，
所以sinα+β=sin αcs β+cs αsin β=223×33+13×63=63.
故选C.
综合提升练
9. （多选题）已知△ABC不是直角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则（ ACD ）.
A. sin C=sinA+BB. cs C=csA+B
C. tan C=tan A+tan Btan Atan B−1D. a=bcs C+ccs B
[解析]对于A，因为C=π−A+B，所以sin C=sinπ−A+B=sinA+B，所以A 正确;
对于B，因为C=π−A+B，所以cs C=csπ−A+B=−csA+B，所以B 错误;
对于C，因为C=π−A+B，所以tan C=tanπ−A+B=−tanA+B=−tan A+tan B1−tan Atan B=tan A+tan Btan Atan B−1，所以C 正确;
对于D，因为A=π−B+C，所以sin A=sinπ−B+C=sinB+C=sin Bcs C+sin Ccs B，
由正弦定理得a=bcs C+ccs B，所以D 正确.故选ACD.
10. （多选题）下列式子的运算结果为3的是（ ABC ）.
A. tan 25∘+tan 35∘+3tan 25∘tan 35∘B. 2sin 35∘cs 25∘+cs 35∘cs 65∘
C. 1+tan 15∘1−tan 15∘D. tanπ61−tan2π6
[解析]对于A，tan 25∘+tan 35∘+3tan 25∘tan 35∘=tan25∘+35∘⋅1−tan 25∘tan 35∘+3tan 25∘tan 35∘=3−3tan 25∘tan 35∘+3tan 25∘tan 35∘=3；
对于B，2sin 35∘cs 25∘+cs 35∘cs 65∘=2sin 35∘cs 25∘+cs 35∘sin 25∘=2sin 60∘=3；
对于C，1+tan 15∘1−tan 15∘=tan 45∘+tan 15∘1−tan 45∘tan 15∘=tan 60∘=3；
对于D，tan π61−tan2π6=12×2tan π61−tan2π6=12×tan π3=32.
故选ABC.
11. 已知csα−π6+sin α=435，则sinα+7π6=−45 .
[解析]由csα−π6+sin α=435，
可得32cs α+12sin α+sin α=435，
即32sin α+32cs α=435，
∴3sinα+π6=435，即sinα+π6=45，
∴sinα+7π6=−sinα+π6=−45.
12. 已知sin π4−α=−55,sin 3π4+β=1010，且α∈(π4,3π4),β∈(0,π4)，则α−β 的值为π4 .
[解析]α∈(π4,3π4),β∈(0,π4)，则−β∈(−π4，0)，所以α−β∈(0,3π4)，注意到α−β=π−π4−α+3π4+β，
于是sinα−β=sin π−π4−α+3π4+β=sin π4−α+3π4+β，
不妨记x=π4−α ,y=3π4+β ，于是sinα−β=sinx+y，而x∈(−π2,0),sin x=−55，于是cs x=255（负值舍去），又y∈(3π4,π),sin y=1010，所以cs y=−31010（正值舍去），
所以sinα−β=sinx+y=sin xcs y+sin ycs x=22，而α−β∈(0,3π4)，所以α−β=π4.
应用情境练
13. （双空题）如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为θ ，且tan θ=2，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，当tan∠POC=12 时，矩形ABCD的周长最大，且周长的最大值为5 .
[解析]设∠POC=α ,0则AD=BC=sin α ,OB=cs α ,OA=ADtan θ=sin α2，
所以AB=cs α−sin α2，
所以矩形ABCD 的周长为2cs α−sin α2+2sin α=sin α+2cs α=5sinα+φ，
其中sin φ=25,cs φ=15,tan φ=2，则π3<φ<π2，
所以当α+φ=π2 时，矩形ABCD 的周长最大，
此时α=π2−φ ,tan α=tan π2−φ=sin π2−φcs π2−φ=cs φsin φ=12，
且矩形ABCD 周长的最大值为5.
14. 如图，在带有坐标系的单位圆O中，设∠AOx=α ，∠BOx=β ，∠AOB=α−β .
（1）利用单位圆、向量知识证明：csα−β=cs α⋅cs β+sin αsin β .
（2）若α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，csα−β=−45，tan α=−512，求cs β 的值.
[解析]（1）由题意知,OA=OB=1，且OA 与OB 的夹角为α−β ，
所以OA⋅OB=1×1×csα−β=csα−β.
又OA=cs α,sin α，OB=cs β,sin β，
所以OA⋅OB=cs αcs β+sin αsin β ，
故csα−β=cs αcs β+sin αsin β .
（2）因为α∈(π2,π)且tan α=−512，所以sin α=513,cs α=−1213,
因为β∈(0,π2)，所以−β∈(−π2,0)，又α∈(π2,π)，csα−β=−45,所以α−β∈(π2,π)，sinα−β=35，
所以cs β=csα−α−β=cs αcsα−β+sin αsinα−β=−1213×−45+513×35=6365.
创新拓展练
15. 如图1，正方形ABCD的边长为2，M为线段CD的中点.现把正方形按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF=θ ，则sinθ+π4=31010 .
[解析]设DE=x，则DM=1，EM=EA=2−x.
在Rt△DEM 中，∠D=90∘ ，所以DE2+DM2=EM2，
即x2+12=2−x2，解得x=34，所以EM=54，
所以在Rt△DEM 中，sin∠DEM=DMEM=45，
则sin 2θ=sinπ−∠DEM=sin∠DEM=45，
又sin θ+cs θ=sin θ+cs θ2=1+2sin θcs θ=1+sin 2θ=355，所以sinθ+π4=22sin θ+cs θ=31010.
16. 如图，圆O的半径为22，直线AN与圆相切，点M在线段AN上，AM=2MN，且MN=22，圆O上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处，记∠AOP=θ ，θ∈0,π，四边形OANP的面积为S.
（1）当θ=2π3时，求S的值；
（2）试确定θ 的值，使得△AOP的面积等于△APM的面积的一半.
[解析]（1）过点P 作PQ⊥AN 交AN 于点Q，如图所示.
因为圆O 的半径为22，
所以PQ=22−22⋅cs θ=22−22⋅cs2π3=32，
又AM=2MN，且MN=22，所以AN=62，
所以四边形OANP 的面积S=12×22×22×32+12×62×32=18+23.
（2）设△AOP 的面积为S1，△APM的面积为S2，则S2=2S1，
因为S1=12×22×22×sin θ=4sin θ ，S2=12AM⋅PQ=12×42×221−cs θ=81−cs θ，
所以81−cs θ=8sin θ ，即sin θ+cs θ=1，所以sinθ+π4=22.
因为θ∈0,π，所以θ+π4∈(π4,5π4)，所以θ+π4=3π4，所以θ=π2，
所以当θ=π2 时，△AOP的面积等于△APM 的面积的一半。
。