2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【含解析】

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这是一份2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
A．①② B．②④
C．①③D．②③
2．如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq \f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(2),2)
4．在三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(π,2)．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．4πB．10π
C．12πD．48π
5．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
6．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β．(填所选条件的序号)
8．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq \r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．
9．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD．
10．(多选)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(\r(2),2)，则下列结论中正确的有( )
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角AEFB逐渐变小
C．二面角EABC的最小值为45°
D．三棱锥ABEF的体积为定值
11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10 m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0．5OD＝1．5OE)( )
A．2eq \r(17) mB．6eq \r(2) m
C．8 mD．9 m
12．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________．
14．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝eq \f(1,4)PB．
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【解析版】
1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
A．①② B．②④
C．①③D．②③
解析：B 对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．故选B．
2．如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
解析：A 连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq \f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(2),2)
解析：A 设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(\r(2),6)πr3，解得eq \f(h,r)＝eq \f(\r(2),2)，所以母线与底面所成角的正切值为eq \f(\r(2),2)，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为eq \f(\r(3),3)．故选A．
4．在三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(π,2)．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．4πB．10π
C．12πD．48π
解析：C 如图，取边AB的中点M，边PC的中点O，由于∠ABC＝eq \f(π,2)，所以点M为△ABC外接圆的圆心，连接OM，OA，则OM∥PA，又因为PA⊥平面ABC，所以OM⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，BM⊂平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥BM，又因为BM＝MA＝MC，所以OB＝OA＝OC＝OP，则点O为外接球的球心，又因为OM＝eq \f(1,2)PA＝1，MA＝eq \f(1,2)CA＝eq \f(1,2) eq \r(BC2＋AB2)＝eq \r(2)，所以球半径为eq \r(OM2＋AM2)＝eq \r(3)，所以球表面积为4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)))2＝12π，故选C．
5．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
解析：CD A选项，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；B选项，若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；C选项，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；D选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．故选C、D．
6．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
解析：BC 根据折叠前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不变，根据线面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正确；因为HG与AG不垂直，所以HG与平面AEF不垂直，所以D不正确．故选B、C．
7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β．(填所选条件的序号)
解析：根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
答案：(3)(5) (2)(5)
8．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq \r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．因为PE＝PF＝eq \r(3)，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq \r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(\r(3)2－12)＝eq \r(2)．
答案：eq \r(2)
9．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD．
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD．
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC．
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB．
因为PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD．
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG．
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝eq \f(1,2)BC．
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC．
所以DE∥FG，DE＝FG．
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG．
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
10．(多选)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(\r(2),2)，则下列结论中正确的有( )
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角AEFB逐渐变小
C．二面角EABC的最小值为45°
D．三棱锥ABEF的体积为定值
解析：ACD 对于A，因为在正方体中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE⊂平面AB1D1．所以A1C⊥AE恒成立，A正确；对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角AEFB的大小不变，B错误；对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角EABC越来越小，所以二面角EABC的最小值为∠D1AD＝45°，C正确；对于D，因为S△BEF＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，点A到平面BDD1B1的距离为eq \f(\r(2),2)，所以体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,12)，即体积为定值，D正确．故选A、C、D．
11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10 m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0．5OD＝1．5OE)( )
A．2eq \r(17) mB．6eq \r(2) m
C．8 mD．9 m
解析：A 根据条件得，OE＝eq \f(0.5×DO,1.5)＝eq \f(0.5×6,1.5)＝2 m．∵PO⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴PO⊥AE，又AB＝AC，E是BC中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC．∵PO＝2 m，∴PE＝2eq \r(2) m，∵PB＝3 m，∴BE＝1 m．由于△ABC的面积为10 m2，∴eq \f(1,2)BC·AE＝10，解得AE＝10 m，即AO＝8 m，即AP＝2eq \r(17) m．故选A．
12．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．
解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD．PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________．
解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切(否则相交就有两点满足垂直，矛盾)，∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2．
答案：2
14．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝eq \f(1,4)PB．
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：在四边形ABCD中，由AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcs 60°＝eq \f(1,2)，AC＝2CDsin 60°＝eq \r(3)，
则BM＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝eq \f(3,2)，
由eq \f(DM,BM)＝eq \f(PN,BN)＝eq \f(1,3)，可得MN∥PD，
而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
可得MN∥平面PDC．
(2)当点Q为BC的中点时，满足题意，理由如下：过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，如图，
由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ，
又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q．
在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，
在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，由BM＝eq \f(3,2)，eq \f(BQ,sin 30°)＝eq \f(BM,sin 120°)，
可得BQ＝eq \f(BM,\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，即Q为BC的中点，
故Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD．