孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
2．当时，的最小值为( )
A.B.1C.2D.
3．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( )
A.B.2C.3D.
4．已知函数若，则( )
A.2B.3C.4D.5
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），M是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）( )
A.B.C.D.
7．若,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．若定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则满足的m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各组函数中，两个函数相同的是( )
A.，B.，
C.，D.，
10．若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是( )
A.若，则在上不存在零点
B.已知方程的解在内，则
C.若，则在上至少有一个零点
D.若在内有且只有一个零点，则
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，若，则下列说法正确的是( )
A.当时，
B.
C.函数是增函数
D.函数的值域为
三、填空题
12．当函数在定义域上单调递增时，称其为_________（“增”或“减”）函数.
13．若，且，，，则_________.
14．请写出基本不等式：_________.
15．若函数定义域为I，若，有，且，则称函数为_________（“奇”或“偶”）函数.
四、解答题
16．（1）；
（2）.
17．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）判断的奇偶性，并证明.
18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，且.
（1）求a的值，并求出的解析式；
（2）若在上恒成立，求m的取值范围.
19．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且.
（1）求和的解析式；
（2）判断在上的单调性，并给出证明.
20．已知函数.
（1）若在上的最小值为，求a的值；
（2）若函数恰有3个零点，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意知解得且，即的定义域为.故选D.
2．答案：C
解析：，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2.故选C.
3．答案：B
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以.故选B.
4．答案：B
解析：因为，所以，所以，解得.故选B.
5．答案：D
解析：根据函数的单调性，有，即.故选D.
6．答案：B
解析：由于，其中，，，
所以.故选B.
7．答案：D
解析：因为,
所以由题意
,
因为,所以,
所以由基本不等式可得,
当且仅当时等号成立,即当且仅当或时等号成立,
综上所述,的最小值为.
故选:D.
8．答案：B
解析：因为定义域为R的偶函数在内单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得或或
解得或或，
所以满足的m的取值范围是.故选B.
9．答案：AD
解析：对于B选项，与的定义域均为R，与的对应关系不同，故不是同一个函数，故B错误；
对于C选项，的定义域是，的定义域是R，定义域不相同，故不是同一个函数，故C错误.故选AD.
10．答案：BC
解析：若，，，则，，，
令，，，则在上存在零点0，故A错误；
令，又在R上单调递增，且，，
所以方程的解在内，所以，故B正确；
函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确；
若，，，又在上存在零点0，但，故D错误.故选BC.
11．答案：AD
解析：当时，，故A正确；
，故B错误；
因为，，所以不是增函数，故C错误；
当时，其中，所以，可得，所以的值域为，故D正确.故选AD.
12．答案：增
解析：当函数在定义域上单调递增时，称其为增函数.
13．答案：
解析：因为,且，，，则.
故答案为：.
14．答案：
解析：若，，则，当且仅当时，等号成立.
15．答案：偶
解析：若函数定义域为I,若,有,且,则称函数为偶函数.
故答案为：偶.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）；
（2）.
17．答案：（1）；
（2）是偶函数，证明见解析
解析：（1）因为是幂函数，所以，解得或，
当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
当时，，此时在上单调递增，符合题意.
综上，；
（2）是偶函数，其定义域为R，因为，所以是偶函数.
18．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）因为是偶函数，所以，解得，
当时，，所以，
所以；
（2）在上恒成立，
即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，即m的取值范围是.
19．答案：（1），；
（2）在上单调递减，证明见解析
解析：（1）由，可得，
又为偶函数，为奇函数，所以，
所以，；
（2）由（1）得，所以在上单调递减，
证明如下：若，则，
又，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递减.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，在上单调递增，所以不存在最小值；
当时，，
所以，解得（舍去）或，故；
（2）令，
即，.
令，则方程化为，
画出的图象如图所示，
因为恰有3个零点，所以有两个根，，且，
记，
则解得，
综上，a的取值范围是.