安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.45°B.60°C.135°D.150°
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m的值为( )
A.0B.C.1D.
3．已知等差数列满足，则( )
A.10B.8C.6D.4
4．如图，三棱柱中，，，，点M为四边形的中心点，则( )
A.B.CD.
5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )
A.，B.，C.，D.，
6．已知数列的前n项和为，前n项积为，满足，则( )
A.45B.50C.55D.60
7．已知点F为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A,B两点，点M为的中点，过点M向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则( )
A.2B.3C.4D.5
8．已知函数表示不超过x的最大整数，，，数列的前n项和为，则( )
A.673B.747C.769D.821
二、多项选择题
9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.向量关于平面的对称向量的坐标为
B.若，则
C.若，则
D.若且，则，
10．已知椭圆的上顶点为B，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若椭圆C的离心率为，则
C.当时，过点的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为
D.若直线与椭圆C的另一个交点为A，，则
11．已知等差数列的前n项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.数列的前10项和为
12．点A,B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3
B.从点向圆引两条切线，切点分别为A,B，的最小值为
C.A,B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D.当，时，的最大值为
三、填空题
13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.
14．过点的直线l被圆：所截得的弦长的最小值为______.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C交于P，Q两点，点M为双曲线C在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为，记直线、的斜率分别为、，则______.
16．已知抛物线，过该抛物线焦点F的直线l与该抛物线相交于A,B两点（其中点A在第一象限），当直线l的倾斜角为时，，O为坐标原点，则面积的最小值为______.
四、解答题
17．已知直线l过点.
（1）若直线l在y轴上的截距b、在x轴上的截距的a满足，求直线l的方程；
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，当的面积最小时，求直线l的方程.
18．已知数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，.
（1）证明：；
（2）若，点F为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上任意一点，点P到距离的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点的两条不同的直线，关于x轴对称，直线，与椭圆C在x轴上方分别交于M、N两点.直线是否过x轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.
21．已知数列的前n项和为，前n项积为，满足.
（1）求，和；
（2）证明：.
22．已知点，圆，点满足，点的轨迹为曲线C，点A为曲线C上一点且在y轴右侧，曲线C在点A处的切线l与圆交于M，N两点，设直线，的倾斜角分别为,.
（1）求曲线C的方程；
参考答案
1．答案：C
解析：根据题意：，
所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，
可得.
故选：C
2．答案：B
解析：根据题意：，，
与共线，所以，
可得，.
故选：B
3．答案：D
解析：由，得到，即，
所以，
故选：D.
4．答案：A
解析：根据题意，，
又，所以，
故选：A.
5．答案：B
解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照，可得，
所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.
故选：B.
6．答案：D
解析：根据题意：，，
两式作差可得，当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，，
所以，
故选：D.
7．答案：B
解析：根据题意，过点A,B分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，
所以，
所以，
设，，
根据定义可得，
联立，
.
故选：B.
8．答案：A
解析：根据题意分析可得：，，
，，
，，，，，
所以.
故选：A
9．答案：AC
解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A正确；
对于选项B:若，则，即，故B错误；
对于选项C:若，则，故C正确；
对于选项D:若且，或，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：对于A项，若，因,可得，则，故A项正确；
对于B项，由可解得：，故B项正确；
对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C所截的弦长的最小值为通径长，即，故C项错误；
对于D项，如图，因为，，设点，由可得，
解得：，代入椭圆中，可得，
即，解得：，故D项正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d，，由解得：，
故，，故A项正确，B项错误；
将数列列举出来为：
数列列举出来为：
故共同项依次有：,即，
故，则，C项正确；
因，
其前10项和为.故D项正确.
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：对A：当，为直径时，（其中为点A的纵坐标），
所以当点A为或时，三角形面积最大，
，所以A正确；
对B：设，交与点N，
由圆的切线性质，
则，
所以，越大，越小，
当点P在处时，最大，
此时，，，即，B正确；
对C：当点在处，且，为切线时，最大，
此时，即，，
所以不存在符合的点，C错误；
对D：设的中点D，则，，
所以点D在以M为圆心，为半径的圆上，，
设小圆半径为，则，
则的最大值为，D正确.
13．答案：
解析：由题意可知：直线的斜率为k，过定点；
直线的斜率为k，过定点；
可知，所以两直线之间距离的最大值为.
故答案为：.
14．答案：
判断可知点在圆内，而圆，
若直线l斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，所以，若，则，
若,，则，解得或，
直线l斜率存在时，，此时，
若直线l斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，
综上所述，圆心到直线l的距离最大值为，
所以所截的弦长的最小值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：
设，，，根据题意，可得，
联立，化简得，，
所以,，
所以，
又，可得，，所以双曲线，
的面积为，可得，
代入双曲线C的方程可得，所以点M的坐标为，
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示，分别过A,B向准线作垂线，垂足分别为、，过B作的垂线，垂足为M，
当直线l的倾斜角为时，结合题意易得，
所以，即，
设，，满足，，
设直线，代入抛物线方程，
可得，，
所以，
当时，三角形面积取最小值，此时最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1）或；
（2）
解析：（1）根据题意：直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的3倍，
当直线l不过原点时，设直线l为，
将代入可得，
所以直线l的方程为；
当直线l过原点时，直线l的斜率为，
所以直线l的方程为即.
综上，直线l的方程为或；
（2）设直线l的方程为，
所以，，
所以，
当且仅当时，，（舍），
所以直线l的方程为即.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）根据题意：，当时，，
两式相减即得：，
因时，，满足上式，
故；
（2），
则，
，
两式相减可得：，
故.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
如图，取的中点O，连接，，
因为，所以，
又因为底面是边长为2的等边三角形，
所以，又,平面，可得平面，
又平面，所以.
（2）因为，，所以，，
因为，由可得：，
又，,平面，所以平面，
如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
因，，
设平面的法向量，则，
取，得，，则，
又，，
设平面的法向量，则
取，得，，则.
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
20．答案：（1）；
（2）是，
解析：（1）根据题意，，，
解得，，
又，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）根据题意可得：设直线的方程为，
联立，
设直线与椭圆C的交点为，，
可得：，
由对称性可知：，直线的方程为，
设直线与x轴交点为，
所以
，
可得：
，
所以直线过定点.
21．答案：（1），，；
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
当时，，
数列的前n项积为，满足，
时，，化为，变形为，
时，，
数列是首项为4，公比为2的等比数列，
，
时，亦满足上式，即；
（2）先证明左边：即证明，，
又由，解得，
又，
所以，
再证明右边：，
.
22．答案：（1）；
（2）
根据题意：，，满足双曲线定义，
设曲线C的方程为，
根据定义可得，，，
所以曲线C的轨迹方程为；
（2）根据题意：，，
当l的斜率不存在时，
，此时，，，
所以；
当l的斜率存在时，设，，
设直线，联立直线l与圆可得：，
，
，
所以代入韦达定理可知，
因为直线l与曲线C相切，联立
，，
所以，故得，
所以.