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安徽省亳州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析
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这是一份安徽省亳州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. 0D.
2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示：
若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（ ）
A. B. 0.358C. D. 8.642
4. 函数在上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定
5. 某班新年联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42B. 30C. 20D. 12
6. 已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ）
A B.
C. D.
8. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线仍然是正态曲线
B. 曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A. 点和点的曼哈顿距离为3
B. 设，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，则的值是___________
13. 在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．
14. 若不等式对任意恒成立，则整数的最大值是___________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为自然对数底数．
（1）求的极值；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角正弦值．
17. 已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合任意一点．
（1）设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
（2）若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值；
（3）判定是数列的第几项，写出推理过程．
投人的治理经费（单位：千万元）
1
2
3
4
5
6
7
收益的增加值（单位：万元）
2
3
2
5
7
7
9
评估得分
评定类型
不合格
合格
良好
优秀
贷款金额（万元）
0
200
400
800
高二数学（人教版）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.
【详解】.
故选：C.
2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.
【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，
在处的两边左正、右负，取得极大值；
在处的两边左负、右正，取值极小值；
在处的两边都为正，没有极值；
在处的两边左正、右负，取值极大值．
因此函数在开区间内的极小值点只有一个．
故选：A．
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示：
若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（ ）
A. B. 0.358C. D. 8.642
【答案】B
【解析】
【分析】先算出，代入回归直线方程为，可得，进而得到回归直线方程，当时，求出，算出残差即可.
【详解】，
所以，
当时，，因此残差为．
故选：B．
4. 函数在上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.
【详解】因为
，函数在上单调递减．
故选：B．
5. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42B. 30C. 20D. 12
【答案】A
【解析】
【详解】原定的5个节目之间有6个位．
当插入的这两个新节目在一起时，有插法；
当插入的这两个新节目不在一起时，有插法，
所以总的不同插法的种数为种．
故选：A．
【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．
6. 已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解.
【详解】因为，所以．
在点处的切线方程可表示为：
，
又因为曲线在点处的切线方程是，
所以解得．
故选：C.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.
【详解】第次由甲掷应该有两种情况：
①第次由甲掷，第次继续由甲掷，此时概率为；
②第次由乙掷，第次由甲掷，此时概率为．
由于这两种情况是互斥的，
因此与之间的关系式是，其中．
故选：C．
8. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线仍然是正态曲线
B. 曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.
【详解】密度函数，向右移动2个单位后，密度函数，
曲线b仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变,故AB正确；
以曲线b为概率密度曲线的总体的期望值为，故C错误；
以曲线为概率密度曲线的总体的方差不变．故D错误；
故选: AB．
10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；
【详解】对于A，由得，
，所以．A正确；
对于B，将与整体相减得，，
所以，
又，即，
所以．
因此不是等比数列，B错误；
对于C,因为，
所以当时，．
当时，．
当时，，因此,C正确；
对于D，因，
所以，
所以，
因此是递增数列，D正确；
故选:ACD．
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A. 点和点的曼哈顿距离为3
B. 设，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A，根据，分类讨论去绝对值结合辅助角公式可求判断选项B，C，D.
【详解】对A，，A对；
因为，
所以，B对；
当，即时，的最大值为．满足，
当，即时，的最大值为．满足，则C错，D对，
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，则的值是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的方差公式求得，再结合方差的性质公式得出结果.
【详解】因为，
所以．
故答案为：.
13. 在二项式展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】在二项式的展开式中，令，
得，，
即，，
解得，，
所以二项式系数和为．
故答案为：16.
14. 若不等式对任意恒成立，则整数的最大值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】将不等式化为，令，将问题转化为直线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.
【详解】
不等式就是，
令，显然直线过定点，
因为的定义域为，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
可以画出曲线的草图（如图），
由图象可知，直线的极限位置是与曲线相切，
设切点是，则切线方程是，
将点代入得，，即，则，
令，则在内单调递增，
又因为，在中，于是，故整数的最大值是3.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和数形结合思想，是一道难题．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的极值；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；
（2）根据有两个零点转化为，令，利用函数求导判断函数单调性和在不同范围内函数的值域求得的取值范围.
【小问1详解】
．
当时，上单增，既没有极大值，也没有极小值．
当时，令，则
当时，在上单减，
当时，在上单增，
所以的极小值为，没有极大值.
【小问2详解】
由得，．令．
则，当时，单增；
当时，单减．因此．
显然当时，；当时，．
当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点，
即函数有两个零点．
故的取值范围是．
16. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直可得平面，则，由几何知识可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，可得平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
因为为矩形，则，
且平面平面，平面平面平面，
则平面，且平面，所以．
连接．
在和中，，
可知全等于．则，
且是中点，则．
在中，，
而是的中点，则．
且，平面，所以平面．
小问2详解】
以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得，
由（1）知，是平面的法向量，
且平面的法向量是．
可得．
所以二面角的正弦值为．
17. 已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
（1）设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
（2）若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，点到准线的距离，利用求出可得答案；
（2）方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案.
【小问1详解】
准线为到的距离是．由对称性知，
是等腰直角三角形，斜边，
点到准线的距离，
，解得，
故圆的方程为；
【小问2详解】
方法一，因为，
所以，
所以，
设在抛物线上，
则．
显然直线的斜率存在，
则直线的方程为，
将代入得，，
即，
令，得，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，代入式可得，
故直线经过定点．
方法二，因为，所以，
设在拋物线上，
则，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消去得到，
，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，即，
因此就是．故直线经过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．
【答案】（1）0.45
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或良好的概率；
（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为，则也成等差数列，即，又，可得，列出分布列，可求得，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．
【小问1详解】
设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是，
则根据频率分布直方图可知，
．
故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为．
【小问2详解】
设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为，
因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以也成等差数列，
即，又因为，所以，
设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量，则其分布列是
于是
，
因为，所以，解得，
故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值；
（3）判定是数列的第几项，写出推理过程．
【答案】（1）
（2），或．
（3）第2024项，答案见解析
【解析】
【分析】（1）应用待定系数法求参即可；
（2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参；
（3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项.
【小问1详解】
由题意知，对应的特征方程是，解得．
于是，其中为常数．
当时，有，解得．
故．
【小问2详解】
设，则，与
比较得到，是方程的根，
所以或．
故，或．
【小问3详解】
因为，所以
．
于是．
因此．
故是数列的第2024项．
【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根.
投人的治理经费（单位：千万元）
1
2
3
4
5
6
7
收益的增加值（单位：万元）
2
3
2
5
7
7
9
评估得分
评定类型
不合格
合格
良好
优秀
贷款金额（万元）
0
200
400
800
0
200
400
800
0.25
0.25
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. 0D.
2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示：
若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（ ）
A. B. 0.358C. D. 8.642
4. 函数在上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定
5. 某班新年联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42B. 30C. 20D. 12
6. 已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ）
A B.
C. D.
8. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线仍然是正态曲线
B. 曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A. 点和点的曼哈顿距离为3
B. 设，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，则的值是___________
13. 在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．
14. 若不等式对任意恒成立，则整数的最大值是___________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为自然对数底数．
（1）求的极值；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角正弦值．
17. 已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合任意一点．
（1）设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
（2）若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值；
（3）判定是数列的第几项，写出推理过程．
投人的治理经费（单位：千万元）
1
2
3
4
5
6
7
收益的增加值（单位：万元）
2
3
2
5
7
7
9
评估得分
评定类型
不合格
合格
良好
优秀
贷款金额（万元）
0
200
400
800
高二数学（人教版）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.
【详解】.
故选：C.
2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.
【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，
在处的两边左正、右负，取得极大值；
在处的两边左负、右正，取值极小值；
在处的两边都为正，没有极值；
在处的两边左正、右负，取值极大值．
因此函数在开区间内的极小值点只有一个．
故选：A．
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示：
若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（ ）
A. B. 0.358C. D. 8.642
【答案】B
【解析】
【分析】先算出，代入回归直线方程为，可得，进而得到回归直线方程，当时，求出，算出残差即可.
【详解】，
所以，
当时，，因此残差为．
故选：B．
4. 函数在上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.
【详解】因为
，函数在上单调递减．
故选：B．
5. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42B. 30C. 20D. 12
【答案】A
【解析】
【详解】原定的5个节目之间有6个位．
当插入的这两个新节目在一起时，有插法；
当插入的这两个新节目不在一起时，有插法，
所以总的不同插法的种数为种．
故选：A．
【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．
6. 已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解.
【详解】因为，所以．
在点处的切线方程可表示为：
，
又因为曲线在点处的切线方程是，
所以解得．
故选：C.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.
【详解】第次由甲掷应该有两种情况：
①第次由甲掷，第次继续由甲掷，此时概率为；
②第次由乙掷，第次由甲掷，此时概率为．
由于这两种情况是互斥的，
因此与之间的关系式是，其中．
故选：C．
8. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线仍然是正态曲线
B. 曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.
【详解】密度函数，向右移动2个单位后，密度函数，
曲线b仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变,故AB正确；
以曲线b为概率密度曲线的总体的期望值为，故C错误；
以曲线为概率密度曲线的总体的方差不变．故D错误；
故选: AB．
10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；
【详解】对于A，由得，
，所以．A正确；
对于B，将与整体相减得，，
所以，
又，即，
所以．
因此不是等比数列，B错误；
对于C,因为，
所以当时，．
当时，．
当时，，因此,C正确；
对于D，因，
所以，
所以，
因此是递增数列，D正确；
故选:ACD．
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A. 点和点的曼哈顿距离为3
B. 设，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A，根据，分类讨论去绝对值结合辅助角公式可求判断选项B，C，D.
【详解】对A，，A对；
因为，
所以，B对；
当，即时，的最大值为．满足，
当，即时，的最大值为．满足，则C错，D对，
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，则的值是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的方差公式求得，再结合方差的性质公式得出结果.
【详解】因为，
所以．
故答案为：.
13. 在二项式展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】在二项式的展开式中，令，
得，，
即，，
解得，，
所以二项式系数和为．
故答案为：16.
14. 若不等式对任意恒成立，则整数的最大值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】将不等式化为，令，将问题转化为直线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.
【详解】
不等式就是，
令，显然直线过定点，
因为的定义域为，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
可以画出曲线的草图（如图），
由图象可知，直线的极限位置是与曲线相切，
设切点是，则切线方程是，
将点代入得，，即，则，
令，则在内单调递增，
又因为，在中，于是，故整数的最大值是3.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和数形结合思想，是一道难题．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的极值；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；
（2）根据有两个零点转化为，令，利用函数求导判断函数单调性和在不同范围内函数的值域求得的取值范围.
【小问1详解】
．
当时，上单增，既没有极大值，也没有极小值．
当时，令，则
当时，在上单减，
当时，在上单增，
所以的极小值为，没有极大值.
【小问2详解】
由得，．令．
则，当时，单增；
当时，单减．因此．
显然当时，；当时，．
当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点，
即函数有两个零点．
故的取值范围是．
16. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直可得平面，则，由几何知识可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，可得平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
因为为矩形，则，
且平面平面，平面平面平面，
则平面，且平面，所以．
连接．
在和中，，
可知全等于．则，
且是中点，则．
在中，，
而是的中点，则．
且，平面，所以平面．
小问2详解】
以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得，
由（1）知，是平面的法向量，
且平面的法向量是．
可得．
所以二面角的正弦值为．
17. 已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
（1）设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
（2）若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，点到准线的距离，利用求出可得答案；
（2）方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案.
【小问1详解】
准线为到的距离是．由对称性知，
是等腰直角三角形，斜边，
点到准线的距离，
，解得，
故圆的方程为；
【小问2详解】
方法一，因为，
所以，
所以，
设在抛物线上，
则．
显然直线的斜率存在，
则直线的方程为，
将代入得，，
即，
令，得，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，代入式可得，
故直线经过定点．
方法二，因为，所以，
设在拋物线上，
则，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消去得到，
，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，即，
因此就是．故直线经过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．
【答案】（1）0.45
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或良好的概率；
（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为，则也成等差数列，即，又，可得，列出分布列，可求得，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．
【小问1详解】
设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是，
则根据频率分布直方图可知，
．
故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为．
【小问2详解】
设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为，
因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以也成等差数列，
即，又因为，所以，
设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量，则其分布列是
于是
，
因为，所以，解得，
故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值；
（3）判定是数列的第几项，写出推理过程．
【答案】（1）
（2），或．
（3）第2024项，答案见解析
【解析】
【分析】（1）应用待定系数法求参即可；
（2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参；
（3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项.
【小问1详解】
由题意知，对应的特征方程是，解得．
于是，其中为常数．
当时，有，解得．
故．
【小问2详解】
设，则，与
比较得到，是方程的根，
所以或．
故，或．
【小问3详解】
因为，所以
．
于是．
因此．
故是数列的第2024项．
【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根.
投人的治理经费（单位：千万元）
1
2
3
4
5
6
7
收益的增加值（单位：万元）
2
3
2
5
7
7
9
评估得分
评定类型
不合格
合格
良好
优秀
贷款金额（万元）
0
200
400
800
0
200
400
800
0.25
0.25
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