初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的特殊四边形问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的特殊四边形问题，共26页。试卷主要包含了正方形ABCD的顶点A．等内容，欢迎下载使用。
（1）求这条直线和反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点P，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出P的点坐标；如果不存在，说明理由．
（1）y＝x+4＝8，；（2）P（6，4）．
（1）∵直线y＝x+b经过A（﹣3，0），
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线的解析式为y＝x+4，
∵OA＝OD＝3，
∴D（3，0），
把x＝3代入y＝x+4＝8，
∴C（3，8），
∵反比例函数y＝经过点C，
∴k＝3×8＝24，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当四边形BCPD是菱形时，
∵C（3，8），D（3，0），
∴CD⊥x轴，
∴点P和点B关于CD对称，
∴点P的坐标为（6，4），
∴4×6＝24＝k，
∴点P在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BCPD为菱形，此时点P（6，4）．
2、知：如图，直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，线段的长是方程的一个根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）双曲线与直线交于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，，直线轴，垂足为，点在直线l上，在直线上的坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）；（2）10；（3）或
（2）在中，，
∴.
如图，过点作轴于点，则，
∴
∴ 即
解得，
∴，
∴．
∵双曲线（）经过点，
∴·
（3）存在
①当为以点为顶点的矩形的一边时，过点作轴于点，作交直线l于点，如图所示，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴．
∵，
∴设直线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为
当时，，
∴，
∴．（注：也可以用三角形相似求解 ∴如图3
图3
∵
∴点的坐标为；（点的平移）
当为以点为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点的坐标为；
②当为以点为顶点的矩形的对角线时，点在直线的下方，不符合题意。
∴满足条件的的坐标为或；
3、如图所示，直线y1=与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于点P，作PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
（1）反比例函数的解析式为y2=；
（2）当x＞4时，y1＞y2；
（3）反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（8，1）．
（3）连接DC与PB交于点E，若四边形BCPD是菱形时，CE=DE，则CD的长即可求得，从而求得D的坐标，判断D是否在反比例函数的图象上即可．
试题解析：（1）∵一次函数y1=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（﹣4，0），C（0，1），
又∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中点，即OA=OB=4，且BP=2OC=2，
∴P的坐标是（4，2），
将P（4，2）代入y2=得m=8，即反比例函数的解析式为y2=；
（2）当x＞4时，y1＞y2；
（3）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于点E．
∵四边形BCPD是菱形，
∴CE=DE=4，
∴CD=8，
将x=8代入反比例函数解析式y=得y=1，
∴D的坐标是（8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（8，1）．
4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求∠OCD的度数；
（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；
（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．
解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝﹣x+m+1，
令x＝0，得到y＝m+1，
∴D（0，m+1），
令y＝0，得到x＝m+1，
∴C（m+1，0），
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°．
（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，
∵P（m，1）和Q（1，m），
∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，
∴△OMQ≌△ONP（SAS），
∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，
∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，
∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，
∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，
∵∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，
∴DQ＝PC＝，
∵OC＝OD＝m+1，
∴CD＝OC＝，
∵CD＝DQ+PQ+PC，
∴＝2+2，
∴m＝+1；
（3）如图3，
∵四边形BAPQ为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ，
∴∠OAB＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB，
∴矩形OAMB是正方形，
∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，
∴M（，），即OA＝OB＝，
∵AB＝PQ，
∴，
解得：m＝或（舍），
∴OA＝OB＝＝＝＝．
5、如图①，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BC∥x轴（点C在点B的右侧），且BC＝m，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点E．
（1）求b的值和反比例函数的解析式；
（2）填空：不等式﹣x+b＞的解为 ；
（3）当OC平分∠BOD时，求的值；
（4）如图②，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标．
（1）将A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，
解得：b＝9，
将A（2，6）代入y＝得，k＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）当y＝3时，3＝，
解得：x＝4，
∴B（4，3），
由图象可知不等式﹣x+b＞的解为：2＜x＜4，
故答案为：2＜x＜4；
（3）将B（a，3）代入y＝得，＝3，
解得：a＝4，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵BC∥x轴，
∴∠BCO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝BC，
∵B（4，3），
∴OB＝BC＝5，
∴C（9，3），
∴E（9，），D（9，0），
∴DE＝，CE＝3﹣＝，
∴＝＝；
（4）作AH⊥BC于H，则H（2，3），
∴AH＝3，BH＝2，
∵四边形ABDF为平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴∠CFD＝∠CBQ，
∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，
∴∠CFD＝∠ABH，
∴△ABH≌△DFC（AAS），
∴CF＝BH＝2，
∵F是BC中点，
∴BF＝CF＝BC＝2，
∵B（4，3），
∴F（6，3）．
6、如图，直线y＝mx﹣1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为 ．
解：∵A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，
∴a＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点B在直线y＝mx﹣1上，
∴B（0，﹣1），
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝，
设C（n，0），
∴＝，
∴n＝﹣3（舍）或n＝3，
∴C（3，0），
∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D（2，3），
∵D点在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
7、如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 ；
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝．
故答案为：y＝．
8、菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）．
（1）如图1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，求k的值；
（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2．
①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：B1 、D1 ；
②是否存在反比例函数y＝（x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5．
∴A点坐标为（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），
故答案为：（t，5），（t+4，3）；
②存在，理由如下：
∵点B1、D1同时落在（x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），
∴5t＝n，3（t+4）＝n，
解得：t＝6，n＝30
所以，存在，此时n＝30．
9、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．
解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；
当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
10、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，
设OD′＝a，OC′＝b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得
，
解得，
∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），
当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，
此时点A的坐标为（，），
∴k＝×＝；
当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k＝6×12＝72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
11、如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣2，3），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝（m﹣1）x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求cs∠ABP的值．
12、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．
解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝（舍去）或；
当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）．
13、菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）．
（1）如图1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，求k的值；
（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2．
①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：B1 、D1 ；
②是否存在反比例函数y＝（x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5．
∴A点坐标为（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），
故答案为：（t，5），（t+4，3）；
②存在，理由如下：
∵点B1、D1同时落在（x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），
∴5t＝n，3（t+4）＝n，
解得：t＝6，n＝30
所以，存在，此时n＝30．