数学-秋季高三开学摸底考试卷（北京专用）02

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数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为解得或.
所以，
所以.
故选：B.
2．设函数（其中为自然常数），则“”是“在区间上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
函数的定义域为
当时，由，得，所以在上单调递增，
当时，在上单调递增，
所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，
．
故选：A．
4．若函数则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】
因为，所以.
故选：C.
5．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，
故选：B.
6．已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】A
【详解】
解：因为，
所以，解得．
故选：A.
7．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以，
当时，当或时，
即在上单调递增，在、上单调递减，结合图象可知只有B符合题意.
故选：B
8．已知的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】
由图象可得，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，则.
故选：C
9．设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：
因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故选：D.
10．已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为是偶函数，所以 图像关于直线对称，
又因为当时，恒成立
即当时，；时，
所以在区间上单调递减.
解得.
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．
11．函数的图象恒过定点_____________.
【答案】（1,3）
【详解】
令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
12．已知函数，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
令，得或.
当时，，故的取值只能是和，所以，且，解得.
故答案为：.
13．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】
解：依题意可得在上恒成立，
令，，则，
令，，即在定义域上单调递增，
又，，所以存在使得，即，
所以当时，当时，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，可得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
14．函数（其中，为自然常数）
①，使得直线为曲线的一条切线；
②，函数有且仅有一个零点；
③当时，在区间上单调递减；
④当时，，使得直线与曲线没有交点.
则上述结论正确的是________.（写出所有正确的结论的序号）
【答案】①③④
【详解】
解：因为，所以，，
对于①，若为曲线的一条切线，则切点为，所以，显然符合要求，故①正确；
当时显然不满足②，故②错误；
当时，当时，当或时，所以在上单调递增，在和上单调递减，
故时，在区间上单调递减，即③正确，
又，，又当时，当时，
此时，
则当时，当，使得直线与曲线没有交点，
当时，当时，当或时，所以在上单调递减，在和上单调递增，
又，，又当时，当时，
此时，
则当时，当，使得直线与曲线没有交点，故④正确；
故答案为：①③④
15．已知集合，，，用表示集合中元素的个数.①若，则___________；②若(，为常数)，则___________.
【答案】 6 ．
【详解】
①，则，6；
②，，(，为常数)，设
则（），
，，
易知的最小值是3，最大值是，且上的每一个整数都能取到，
所以中含有个元素，．
故答案为：6；．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合：；集合（m为常数）．
(1)定义且，当时，求；
(2)设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．
故．由可得 即，解得，
故，
则．
(2)
由，即，
解得．
因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，
解得，
故m的取值范围为．
17．已知，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
因为，，故，故
(2)
18．已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
(2)
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
19．已知函数＝.
(1)求函数在点P（1，）处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)(2)极大值18，极小值
【解析】(1)
＝，
所以k＝＝8，又因为＝2，所以.
(2)
＝＝（3x-1）（x+3），
令＝0，得x＝或x＝-3，
与随x的变化情况如下表：
所以x＝时，取得极大值，且极大值为，
当x＝时，取得极小值，且极小值为.
20．已知函数.
(1)求函数的是小正周期及单调减区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)，单调递减区间为
(2)最大值为，最小值为
【解析】(1)
解：
，
所以，
令，
则，
所以函数的单调递减区间为；
(2)
解：因为，所以，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
21．已知函数，其导函数为.
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：
(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.
【解析】(1)
，
由题意得：在上恒成立，即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，，
所以
(2)
当时，.
设，则
令，
则，所以在上单调递减，
又，，
故存在，使得，
当时，，即，在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
又，，，
所以在和上各有一个零点，
从而在上有且仅有两个零点.
（-∞，-3）
-3
（-3，）
（，+∞）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗