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初中数学浙教版七年级上册3.4 实数的运算优秀习题
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这是一份初中数学浙教版七年级上册3.4 实数的运算优秀习题，文件包含第04讲实数的运算5类题型原卷版docx、第04讲实数的运算5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
知识点01：实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
知识点02：近似数
1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法
例如:圆周率π=3.1415926﹍
若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3
若精确到十分位 (或精确到0.1),则π ≈3.1
若精确到百分位 (或精确到0.1),则π ≈3.14
若精确到千分位 (或精确到0.1),则π ≈3.142
π若精确到十分位 ,则π ≈3.1
也可以说成: π保留2个有效数字:3、1
2.有效数字定义:
对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例 如 ：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；
0.010320有 5 个有效数字,分别是1、0、3、2、0.
【即学即练1】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断．
【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，原算式错误，故该选项错误，
C、，正确；
D、，原算式错误，故该项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键．
【即学即练2】
2．（2023春·浙江·九年级周测）下列各式中，化简结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数的运算法则依次对选项化简再判断即可．
【详解】A、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
B、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
C、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
D、，化简结果正确，与题意相符，故正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则．
题型01 实数的混合运算
1．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义以及乘法法则计算即可求出值；
（2）利用平方根、立方根定义计算即可求出结果．
【详解】（1）解：原式=
=
=10；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义、绝对值的性质先分别进行化简，然后再按顺序进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根和立方根的定义，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
3．（2023春·云南昆明·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解；
（2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
题型02 程序设计与实数计算
1．（2023春·河南濮阳·八年级校考阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（ ）
A．0B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据程序运算列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，程序运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据无理数的估算方法，得出．
2．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的数值为 ．
【答案】5
【分析】首先求出的算术平方根，然后用的算术平方根除以，求出商是多少，再用所得的商加上，求出输出的数值即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图为一个数值转换器．
(1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；
(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【答案】(1)；
(2)输入的x值为9
(3)他输入的x值为0或1
【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解．
（2）对平方两次即可出答案．
（2）始终输不出y值， x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案．
【详解】（1）解：依据题意得：
当x=4时，
，
继续输入x=2，
结果：；
当x=16时，
是有理数，
继续输入x=4，
是有理数，
继续输入x=2，
结果：；
故答案为：；．
（2）∵输出y的值为，
∴第二次输入的数为，
∴第一次输入的数为；
∴输入的值为9．
（3）∵x为非负数，
∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值，
∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值，
∴x取值为1或0．
【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．
题型03 新定义下的实数运算
1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”如（，，即8，24均为“致真数”），在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（ ）
A．160B．164C．168D．177
【答案】C
【分析】求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”，然后再求和即可．
【详解】解：不超过50的正整数中，所有的“致真数”有：
，，，，，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ．
【答案】3
【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
3．（2023春·云南昆明·七年级统考期末）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数的定义我们可以判定：与不是共轭实数，与是共轭实数，请分别说明理由
(2)请你设计并写出一对共轭实数 与 ；
(3)小明发现共轭实数与的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差．
【答案】(1)理由见解析
(2)与
(3)16；
【分析】（1）根据共轭实数的定义，一对共轭实数满足有理数部分相等，无理数部分互为相反数，依此判断即可．
（2）先任意写出一个有理数与无理数的和，然后再写出这个有理数与这个无理数的差，则“和”与“差”构成一对共轭实数．
（3）依据共轭实数的表达式进行和差运算即可．
【详解】（1）根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．
∵与的无理数部分与并不构成相反数，
∴与不是共轭实数．
∵与的无理数部分与构成相反数，
∴与是共轭实数．
（2）根据“构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．”，先任意写一个有理数与无理数的和，如：，则其差为，
∴与是一对共轭实数．
故答案为：与．
（3）该对共轭实数的和为：；
该对共轭实数的差为： ．
【点睛】本题考查了新定义的理解，涉及有理数、无理数的概念，解题的关键是正确理解共轭实数的特征．
题型04 实数运算的实际应用
1．（2023·浙江·七年级假期作业）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定．
【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，，
，，，，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
【答案】-1.
【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
3．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
题型05 与实数运算相关的规律题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ）
A．351B．350C．325D．300
【答案】C
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
2．（2023·浙江·七年级假期作业）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ．
【答案】
【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴第个式子为，
∴第个式子为
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1：，，；，，…，．
整数部分为2：，，…；，，…．
整数部分为3：，，…；，，…．
(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？
(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？
【答案】(1)最小值为64，最大值为124
(2)11个
【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，
（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
的最小值64，的最大值124；
（2）的最小值25，的最大值35，
可能的值有11种．
【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．
A夯实基础
1．（2023春·广东广州·七年级统考期末）计算：（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据实数的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列算式的计算结果不为0的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据实数的运算，立方根，求出各选项的值，即可得出答案．
【详解】解：A. ，结果为0，故不符合题意；
B. ，结果不为0，故符合题意；
C. ，结果为0，故不符合题意；
D. ，结果为0，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查实数的运算，立方根，正确计算是解题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（ ）
A．B．8C．2D．
【答案】A
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
4．（2023春·河南濮阳·七年级统考期末）下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据实数运算法则，绝对值的计算即可解答．
【详解】解：对于A，，故A选项运算正确，不符合题意；
对于B，，故B选项运算错误，符合题意；
对于C，，故C选项运算正确，不符合题意；
对于D，，故D选项运算正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根和绝对值的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）＝ ．
【答案】
【分析】先计算9的算术平方根、，再化简绝对值，最后加减，即可求解．
【详解】解：原式＝
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则、绝对值的意义是解决本题的关键．
6．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的运算，求解即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】此题考查了算术平方根和立方根的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
8．（2023·福建·模拟预测）计算的结果是_______．
【答案】
【分析】由于，所以，再去括号即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了去绝对值，熟练掌握去绝对值时要注意绝对值里面的数的正负值，正数去绝对值等于其本身，负数去绝对值等于其相反数是解题的关键．
9．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接利用立方根、算术平方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值化简，再加减即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、立方根、算术平方根的化简是解题关键．
10．（2023春·河南许昌·七年级校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算开平方、开立方和去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算实数的乘法以及开平方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
B能力提升
1．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案.
【详解】解：因为A、B对应的实数分别为和1，
所以，
因为，
所以，
所以，即点C所对应的数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键.
2．（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）的值为（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质进行化简去绝对值，再进行计算．
【详解】解：，
原式
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级统考期中）若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】估算出的小数部分和的整数部分，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴【】，
∴【】．
故选：A
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】先化简各数，再求和即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根和绝对值，掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义和算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的定义，准确计算．
6．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）计算： ．
【答案】0
【分析】直接利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简，再计算加减即可．
【详解】解：
，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简是解题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为 ．
【答案】
【分析】先估算出的范围，再根据题意列出计算式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查无理数的估算以及新定义的实数运算，关键是理解的意义．
8．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，例如：．那么
【答案】/
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的定义以及幂的意义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根以及实数的运算方法是正确解答的前提．
10．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义以及乘法法则计算即可求出值；
（2）利用平方根、立方根定义计算即可求出结果．
【详解】（1）解：原式=
=
=10；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
C综合素养
1．（2023春·贵州黔西·七年级校考期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（ ）
A．B．3C．9D．
【答案】A
【分析】根据流程图进行求解即可．
【详解】解：当时：，是有理数，继续输入，得到，是有理数，继续输入，得到，是无理数，输出，
∴输出的y值是；
故选A．
【点睛】本题考查流程图和求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算式平方根的定义，正确的计算．
2．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答．
【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值即可．
【详解】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）无理数，c的整数部分为a，小数部分为b，则下列等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，得出，进而得出的整数部分，小数部分，然后根据实数的混合运算法则，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
A、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
B、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
C、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，故该选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、实数的混合运算，解本题的关键在利用夹逼法正确估算出无理数的大小．
5．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）计算： ．
【答案】
【分析】先计算算术平方根，乘方，立方根，绝对值，再利用加减法法则进行计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算，绝对值的定义．
6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）有一列数按如下规律排列：，，，，， …则第101个数是 ．
【答案】
【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可．
【详解】解：第1个数是，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是，
第6个数是，
……
第n个数是，
∴当时，
∴第101个数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查探究数字规律，根据已知数归纳总结出这一列数变化规律是解题的关键．
7．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）因为，所以，的整数部分为，小数部分为；设的小数部分为，的整数部分为，则 ．
【答案】
【分析】根据题意表示出，的值，再根据二次根式的乘法运算进而得出答案．
【详解】∵，
∴得小数部分为，
∴的小数部分为，即
∵，
∴的整数部分为，即：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小和二次根式的乘法运算，正确表示出，的值是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为 ．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，
∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
9．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再进行加减计算即可得到答案；
（2）先计算立方根和绝对值，再进行加减计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2023·浙江·七年级假期作业）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律．
课程标准
学习目标
1.掌握实数的混合运算；
2.掌握实数运算的实际应用；
1.掌握实数的混合运算；
2.掌握新定义下的实数的运算；
3、实数运算的实际应用；
知识点01：实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
知识点02：近似数
1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法
例如:圆周率π=3.1415926﹍
若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3
若精确到十分位 (或精确到0.1),则π ≈3.1
若精确到百分位 (或精确到0.1),则π ≈3.14
若精确到千分位 (或精确到0.1),则π ≈3.142
π若精确到十分位 ,则π ≈3.1
也可以说成: π保留2个有效数字:3、1
2.有效数字定义:
对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例 如 ：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；
0.010320有 5 个有效数字,分别是1、0、3、2、0.
【即学即练1】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断．
【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，原算式错误，故该选项错误，
C、，正确；
D、，原算式错误，故该项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键．
【即学即练2】
2．（2023春·浙江·九年级周测）下列各式中，化简结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数的运算法则依次对选项化简再判断即可．
【详解】A、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
B、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
C、，化简结果错误，与题意不符，故错误．
D、，化简结果正确，与题意相符，故正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则．
题型01 实数的混合运算
1．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义以及乘法法则计算即可求出值；
（2）利用平方根、立方根定义计算即可求出结果．
【详解】（1）解：原式=
=
=10；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义、绝对值的性质先分别进行化简，然后再按顺序进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根和立方根的定义，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
3．（2023春·云南昆明·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解；
（2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
题型02 程序设计与实数计算
1．（2023春·河南濮阳·八年级校考阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（ ）
A．0B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据程序运算列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，程序运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据无理数的估算方法，得出．
2．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的数值为 ．
【答案】5
【分析】首先求出的算术平方根，然后用的算术平方根除以，求出商是多少，再用所得的商加上，求出输出的数值即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图为一个数值转换器．
(1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；
(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【答案】(1)；
(2)输入的x值为9
(3)他输入的x值为0或1
【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解．
（2）对平方两次即可出答案．
（2）始终输不出y值， x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案．
【详解】（1）解：依据题意得：
当x=4时，
，
继续输入x=2，
结果：；
当x=16时，
是有理数，
继续输入x=4，
是有理数，
继续输入x=2，
结果：；
故答案为：；．
（2）∵输出y的值为，
∴第二次输入的数为，
∴第一次输入的数为；
∴输入的值为9．
（3）∵x为非负数，
∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值，
∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值，
∴x取值为1或0．
【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．
题型03 新定义下的实数运算
1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”如（，，即8，24均为“致真数”），在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（ ）
A．160B．164C．168D．177
【答案】C
【分析】求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”，然后再求和即可．
【详解】解：不超过50的正整数中，所有的“致真数”有：
，，，，，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ．
【答案】3
【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
3．（2023春·云南昆明·七年级统考期末）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数的定义我们可以判定：与不是共轭实数，与是共轭实数，请分别说明理由
(2)请你设计并写出一对共轭实数 与 ；
(3)小明发现共轭实数与的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差．
【答案】(1)理由见解析
(2)与
(3)16；
【分析】（1）根据共轭实数的定义，一对共轭实数满足有理数部分相等，无理数部分互为相反数，依此判断即可．
（2）先任意写出一个有理数与无理数的和，然后再写出这个有理数与这个无理数的差，则“和”与“差”构成一对共轭实数．
（3）依据共轭实数的表达式进行和差运算即可．
【详解】（1）根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．
∵与的无理数部分与并不构成相反数，
∴与不是共轭实数．
∵与的无理数部分与构成相反数，
∴与是共轭实数．
（2）根据“构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．”，先任意写一个有理数与无理数的和，如：，则其差为，
∴与是一对共轭实数．
故答案为：与．
（3）该对共轭实数的和为：；
该对共轭实数的差为： ．
【点睛】本题考查了新定义的理解，涉及有理数、无理数的概念，解题的关键是正确理解共轭实数的特征．
题型04 实数运算的实际应用
1．（2023·浙江·七年级假期作业）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定．
【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，，
，，，，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
【答案】-1.
【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
3．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
题型05 与实数运算相关的规律题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ）
A．351B．350C．325D．300
【答案】C
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
2．（2023·浙江·七年级假期作业）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ．
【答案】
【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴第个式子为，
∴第个式子为
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1：，，；，，…，．
整数部分为2：，，…；，，…．
整数部分为3：，，…；，，…．
(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？
(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？
【答案】(1)最小值为64，最大值为124
(2)11个
【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，
（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
的最小值64，的最大值124；
（2）的最小值25，的最大值35，
可能的值有11种．
【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．
A夯实基础
1．（2023春·广东广州·七年级统考期末）计算：（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据实数的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列算式的计算结果不为0的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据实数的运算，立方根，求出各选项的值，即可得出答案．
【详解】解：A. ，结果为0，故不符合题意；
B. ，结果不为0，故符合题意；
C. ，结果为0，故不符合题意；
D. ，结果为0，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查实数的运算，立方根，正确计算是解题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（ ）
A．B．8C．2D．
【答案】A
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
4．（2023春·河南濮阳·七年级统考期末）下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据实数运算法则，绝对值的计算即可解答．
【详解】解：对于A，，故A选项运算正确，不符合题意；
对于B，，故B选项运算错误，符合题意；
对于C，，故C选项运算正确，不符合题意；
对于D，，故D选项运算正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根和绝对值的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）＝ ．
【答案】
【分析】先计算9的算术平方根、，再化简绝对值，最后加减，即可求解．
【详解】解：原式＝
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则、绝对值的意义是解决本题的关键．
6．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的运算，求解即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】此题考查了算术平方根和立方根的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
8．（2023·福建·模拟预测）计算的结果是_______．
【答案】
【分析】由于，所以，再去括号即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了去绝对值，熟练掌握去绝对值时要注意绝对值里面的数的正负值，正数去绝对值等于其本身，负数去绝对值等于其相反数是解题的关键．
9．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接利用立方根、算术平方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值化简，再加减即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、立方根、算术平方根的化简是解题关键．
10．（2023春·河南许昌·七年级校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算开平方、开立方和去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算实数的乘法以及开平方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
B能力提升
1．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案.
【详解】解：因为A、B对应的实数分别为和1，
所以，
因为，
所以，
所以，即点C所对应的数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键.
2．（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）的值为（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质进行化简去绝对值，再进行计算．
【详解】解：，
原式
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级统考期中）若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】估算出的小数部分和的整数部分，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴【】，
∴【】．
故选：A
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】先化简各数，再求和即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根和绝对值，掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义和算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的定义，准确计算．
6．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）计算： ．
【答案】0
【分析】直接利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简，再计算加减即可．
【详解】解：
，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简是解题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为 ．
【答案】
【分析】先估算出的范围，再根据题意列出计算式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查无理数的估算以及新定义的实数运算，关键是理解的意义．
8．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，例如：．那么
【答案】/
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的定义以及幂的意义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根以及实数的运算方法是正确解答的前提．
10．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义以及乘法法则计算即可求出值；
（2）利用平方根、立方根定义计算即可求出结果．
【详解】（1）解：原式=
=
=10；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
C综合素养
1．（2023春·贵州黔西·七年级校考期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（ ）
A．B．3C．9D．
【答案】A
【分析】根据流程图进行求解即可．
【详解】解：当时：，是有理数，继续输入，得到，是有理数，继续输入，得到，是无理数，输出，
∴输出的y值是；
故选A．
【点睛】本题考查流程图和求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算式平方根的定义，正确的计算．
2．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答．
【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值即可．
【详解】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）无理数，c的整数部分为a，小数部分为b，则下列等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，得出，进而得出的整数部分，小数部分，然后根据实数的混合运算法则，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
A、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
B、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
C、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，故该选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、实数的混合运算，解本题的关键在利用夹逼法正确估算出无理数的大小．
5．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）计算： ．
【答案】
【分析】先计算算术平方根，乘方，立方根，绝对值，再利用加减法法则进行计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算，绝对值的定义．
6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）有一列数按如下规律排列：，，，，， …则第101个数是 ．
【答案】
【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可．
【详解】解：第1个数是，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是，
第6个数是，
……
第n个数是，
∴当时，
∴第101个数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查探究数字规律，根据已知数归纳总结出这一列数变化规律是解题的关键．
7．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）因为，所以，的整数部分为，小数部分为；设的小数部分为，的整数部分为，则 ．
【答案】
【分析】根据题意表示出，的值，再根据二次根式的乘法运算进而得出答案．
【详解】∵，
∴得小数部分为，
∴的小数部分为，即
∵，
∴的整数部分为，即：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小和二次根式的乘法运算，正确表示出，的值是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为 ．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，
∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
9．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再进行加减计算即可得到答案；
（2）先计算立方根和绝对值，再进行加减计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2023·浙江·七年级假期作业）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律．
课程标准
学习目标
1.掌握实数的混合运算；
2.掌握实数运算的实际应用；
1.掌握实数的混合运算；
2.掌握新定义下的实数的运算；
3、实数运算的实际应用；
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