2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）月考数学试卷（12月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）月考数学试卷（12月份） （含解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的倾斜角为 ．（用反三角表示）
2．已知曲线是焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 ．
3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为 ．
4．点A（2，3）到直线3x+4y﹣6＝0的距离是 ．
5．若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
6．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），则l与α所成角的大小为 ．
8．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01）
9．已知抛物C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 ．
10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为 ．
11．已知P为抛物线y2＝12x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3的距离之和的最小值是 ．
12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，则2x1+x2+2y1+y2的最大值为 ．
二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）
13．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
14．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心
B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切
D．直线l与圆无公共点
15．已知四条双曲线，，，，，
关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①Γ4的开口最为开阔；
②Γ1的开口比Γ3的更为开阔；
③Γ2和Γ3的开口的开阔程度相同．
A．只有一个正确B．只有两个正确
C．均正确D．均不正确
16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺．
A．142πB．140πC．138πD．128π
三、解答题（本大题满分56分）
17．已知．
（1）求与夹角的大小；
（2）若，求实数k的值．
18．如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE＝30°，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的侧面积S；
（2）求异面直线AE与PC所成角的大小．
19．已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α．
（1）当α＝135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
20．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP∥DE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小．
21．已知曲线的左右焦点为F1，F2，P是曲线E上一动点．
（1）求△PF1F2的周长；
（2）过F2的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
（3）若存在过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与曲线E都只有一个公共点，且l1⊥l2，求h的值．
参考答案
一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）
1．过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的倾斜角为 ．（用反三角表示）
【分析】直接利用两点求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．
解：过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的斜率，
故．
故答案为：．
2．已知曲线是焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解．
解：∵是焦点在x轴上的双曲线，
∴m+2＞0，m+1＜0，即﹣2＜m＜﹣1；
故答案为：（﹣2，﹣1）．
3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为 （1，﹣2，3） ．
【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于xOz平面的对称点的坐标为（a，﹣b，c）．
解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为（1，﹣2，3）．
故答案为：（1，﹣2，3）．
4．点A（2，3）到直线3x+4y﹣6＝0的距离是 ．
【分析】由点到直线的距离公式求出即可．
解：由题意及点到直线的距离公式可得：d＝＝．
故答案为：．
5．若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【分析】由已知结合直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．
解：若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，
则2a+2（a﹣1）＝0，即a＝．
故答案为：．
6．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
【分析】求出抛物线的焦点，即有c＝5，求得渐近线方程即有＝，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．
解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），
即有双曲线的焦点为（±5，0），
设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
则c＝5，
由渐近线方程为y＝±x．
则有＝，
又a2+b2＝c2，
解得a＝4，b＝3，
则双曲线的方程为．
故答案为：．
7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），则l与α所成角的大小为 ．
【分析】直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线l与平面α所成的角．
解：平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），
∴cs＜，＞＝＝＝，
∴直线l与平面α所成角为：．
故答案为：．
8．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 1.63 m．（精确到0.01）
【分析】以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用点B的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程 可求出结果．
解：以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
由题意可得B（1，1.5），代入x2＝2py，得1＝3p，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝，
设F（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0＝1.5﹣0.5＝1，
则＝＝，∴，
∴截面图中水面宽EF的长度约为EF＝≈1.63（m）．
故答案为：1.63．
9．已知抛物C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 5 ．
【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解．
解：由抛物线C：y2＝4x，可知F（1，0），即|OF|＝1（O为坐标原点），
过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知，
所以|PN|＝4|FO|＝4，所以点P到准线l的距离为5．
故答案为：5．
10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为 2 ．
【分析】根据∠C1EB＝90°，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解．
解：设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h﹣x，x∈[0，h]，
，
又因为∠C1EB＝90°，所以，
即，化简得x2﹣hx+1＝0，
即关于x的方程x2﹣hx+1＝0，x∈[0，h]有解，
当x＝0时，不符合题意，
当x＞0时，，
当且仅当，即x＝1时取得等号，
所以侧棱AA1的长的最小值为2，
故答案为：2．
11．已知P为抛物线y2＝12x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3的距离之和的最小值是 4 ．
【分析】求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3距离之和的最小，利用勾股定理即可求得丨QF丨．
解：抛物线y2＝12x的焦点为F（3，0），圆x2+（y﹣4）2＝1的圆心为E（0，4），半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣1距离之和的最小为：
丨QF丨＝|EF|﹣r＝﹣1＝5﹣1＝4，⇔
故答案为：4．
12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，则2x1+x2+2y1+y2的最大值为 ．
【分析】利用参数表示A，B，然后利用三角函数求解表达式的最大值即可．
解：A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，
可设A（csα，sinα）、B（csβ，sinβ），α、β的终边不重合，可得sinαcsβ﹣csαsinβ＝0，
即sin（α﹣β）＝0，∴α＝2kπ+π+β，k∈Z，
则2x1+x2+2y1+y2＝2（csα+sinα）+csβ+sinβ
＝2[cs（2kπ+π+β）+sin（2kπ+π+β）]+csβ+sinβ
＝2（﹣csβ﹣sinβ）+csβ+sinβ
＝﹣（csβ+sinβ）＝﹣sin（β+）．当且仅当β＝时，取得最大值．
故答案为：．
二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）
13．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【分析】垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，说明①错误；由直线与平面垂直的性质可知②③正确；由垂直于同一个平面的两个平面有两种位置关系说明④错误．
解：①垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故①错误；
②垂直于同一条直线的两个平面的法向量共线，则两平面互相平行，故②正确；
③由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故③正确；
④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．
∴正确的结论是②③．
故选：C．
14．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心
B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切
D．直线l与圆无公共点
【分析】由已知直线的方程可得斜率的值，进而求出倾斜角的大小，再由题意可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可判断直线l与圆的位置关系．
解：直线的斜率为，所以其倾斜角为30°，
则该直线绕原点按逆时针方向旋转30°后的直线的倾斜角为60°，
即直线l'的方程为y＝x，即x﹣y＝0，
由圆（x﹣2）2+y2＝3的方程可得圆心（2，0），半径r＝，
所以圆心到直线l的距离d＝＝＝r，
所以直线l与圆相切，
故选：C．
15．已知四条双曲线，，，，，
关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①Γ4的开口最为开阔；
②Γ1的开口比Γ3的更为开阔；
③Γ2和Γ3的开口的开阔程度相同．
A．只有一个正确B．只有两个正确
C．均正确D．均不正确
【分析】根据离心率的几何意义可知，离心率越大，开口越大，所以求出四条曲线的离心率即可．
解：，等轴双曲线，故，
，a2＝9，b2＝4，故，，
，a2＝4，b2＝9，故，，
，等轴双曲线，故，
所以，即e3＞e1＝e4＞e2，
根据离心率越大，开口越大，可知①②③都不对．
故选：D．
16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺．
A．142πB．140πC．138πD．128π
【分析】根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的直径，再利用长方体的对角线公式求出球的直径，从而可得球的表面积．
解：根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：
长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的直径，设外接球的半径为R，
则（2R）2＝72+52+82＝138，
∴该球的表面积为4πR2＝138π，
故选：C．
三、解答题（本大题满分56分）
17．已知．
（1）求与夹角的大小；
（2）若，求实数k的值．
【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案；
（2）利用向量平行的坐标表示可得答案．
解：（1）∵，
∴，
∴与夹角的大小为．
（2）∵，∴，，
∵（k）∥（），
∴，解得．
18．如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE＝30°，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的侧面积S；
（2）求异面直线AE与PC所成角的大小．
【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可；
（2）连接AO，EO，可得∠EAO为异面直线AE与PC所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求解即可．
解：（1）设圆锥底面半径为r，母线长为l，因为CD为直径，AB是△PCD的中位线，
所以，，
所以侧面积；
（2）连接AO，EO，由A，O分别为PD，CD的中点，得AO∥PC，
所以∠EAO为异面直线AE与PC所成的角或其补角，
在△AOE中，，，取OD中点为F，连接AF，EF，则，
，所以，
在△AOE中，，
所以异面直线AE与PC所成角的大小为．
19．已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α．
（1）当α＝135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
【分析】（1）先求出直线l的方程，由圆心到直线的公式求出距离，进而求出AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥l，由此可得直线l的斜率，再由点斜式可得直线l的方程．
解：（1）当α＝135°时，直线l的方程为：y﹣2＝﹣（x+1）即x+y﹣1＝0，
圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝．
（2）当弦AB被P（﹣1，2）平分时，OP⊥l，∵kOP＝﹣2，∴kl＝，
∴直线l的方程为：y﹣2＝（x+1），即x﹣2y+5＝0
20．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP∥DE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小．
【分析】（1）根据题意可得AB∥CD，由线面平行的判定定理可得答案；
（2）取AB中点O，以O为原点，OP，OB，OF分别为z轴，x轴，y轴，利用向量法求二面角即可．
解：（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，
又CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，
所以AB∥平面CDE．
（2）取AB中点O，过点O作BC的平行线OF，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，因为△PAB是等边三角形，
所以PO⊥AB，PO⊂平面PAB，
所以PO⊥平面ABCD，故OP，OB，OF两两垂直，
以O为原点，OP，OB，OF所在直线分别为z轴，x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面PEC的法向量，
所以，即，
令x＝1，则，所以，
由题可知平面ABCD的法向量，
设平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的平面角为θ，
所以，
所以平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的平面角为．
21．已知曲线的左右焦点为F1，F2，P是曲线E上一动点．
（1）求△PF1F2的周长；
（2）过F2的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
（3）若存在过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与曲线E都只有一个公共点，且l1⊥l2，求h的值．
【分析】（1）由题意，根据曲线E的标准方程求得a，c，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：x＝my+1，联立方程，结合韦达定理得到yA+yB，yAyB，再由得到yA＝﹣2yB，从而求得m的值，由此可得直线AB的方程；
（3）根据题意设直线：y＝kx+h，联立方程，结合判别式得到，分类讨论两条直线l1和l2与椭圆的位置情况，由l1⊥l2即可求得h的值．
解：（1）因为曲线E：，
所以a2＝2，b2＝1，
可得，
所以，|F1F2|＝2c＝2，
则△PF1F2的周长C＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝；
（2）易知直线AB斜率存在且不为0，
不妨设直线AB：x＝my+1，
联立，消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
此时Δ＝4m2+4（m2+2）＞0恒成立，
由韦达定理得，，
因为，F2（1，0），
所以（1﹣xA，﹣yA）＝2（xB﹣1，yB），
解得yA＝﹣2yB，
此时，
消去yB，得，
可得，
则直线AB的方程为；
（3）易知过点H（0，h）的直线斜率存在，
不妨设该直线方程为y＝kx+h（h＞1），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2＝0，
若直线l1或l2为切线，
此时Δ＝16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）＝0，
解得，
因为该曲线y≠0，
所以该曲线没有左右顶点，
此时共有三种情况：
情况1：两条直线均是切线，
因为l1⊥l2，
所以k1k2＝﹣1，
即，
解得；
情况2：两条直线分别过椭圆左右顶点，
由对称性可知k1＝﹣k2，
因为k1k2＝﹣1，
所以k1＝﹣k2＝1，
此时，
解得；
情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆的左（或右）顶点，
不妨设直线为切线时斜率为正，
即，
可得，
因为k1k2＝﹣1，
所以，
解得；
综上：符合条件的h的值为或或．