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2023-2024学年陕西省宝鸡市陇县第二高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市陇县第二高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（ ）
A．四分位数B．中位数C．众数D．均值
2．已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．
3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
4．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：
则这些空气质量指数的75%分位数为（ ）
A．35B．35.5C．36D．37
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．
6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（ ）
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1
C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1
8．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．28πB．7πC．14πD．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z∈R
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i
D．
（多选）10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线
B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行
C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．事件A与事件相互独立
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是 人
13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
16．已知向量为坐标原点．
（1）若，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．
（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；
（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．
18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．
（1）估计所打分数的众数，平均数；
（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．
19．（17分）如图，在四棱锥O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．
（1）求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值；
（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（ ）
A．四分位数B．中位数C．众数D．均值
【分析】分别根据百分位数，中位数，众数，均值的定义判断即可求解．
解：四分位数在统计学中是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，没有代表性；
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，没有代表性；
众数是一组数据中出现次数最多的数值，没有代表性；
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，所以选择均值较理想．
故选：D．
2．已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案．
解：，
所以 ．
故选：D．
3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】由向量的数量积的坐标表示可知，＝0，代入即可求解k
解：∵＝（，3），
又∵
∴＝＝0
∴k＝﹣3
故选：A．
4．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：
则这些空气质量指数的75%分位数为（ ）
A．35B．35.5C．36D．37
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
解：8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，
又8×75%＝6，
所以这些空气质量指数的75%分位数为．
故选：B．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．
【分析】根据正弦定理计算可得，代入式子即可求解．
解：由，得，
所以．
故选：C．
6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设向量，夹角为θ，由数量积的计算公式可得（2+）2＝42+2+4•＝5+4csθ＝8，变形可得答案．
解：根据题意，设向量，夹角为θ，
若单位向量，满足，
则有（2+）2＝42+2+4•＝5+4csθ＝8，
则有csθ＝，
故选：A．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（ ）
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1
C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1
【分析】连接AD1，BC1利用公理2可直接证得，并且由D1M∥AB可得1：2，从而求出结果；
解：如图：
连接AD1，BC1，
利用公理2可直接证得，
并且由D1E∥AB且D1E＝AB，
∴OD1＝BO，
∴D1，O，B三点共线，
且OB＝3OD1．
故选：B．
8．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．28πB．7πC．14πD．
【分析】设△ABC的外接圆的半径为r，根据正弦定理可求出r，再根据勾股定理建立方程，即可求解．
解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2R，
如图经补形可知球心在直三棱柱ABC﹣PDE高的中点处O，O′为△ABC外接圆的圆心，
外接球的半径＝2r＝4，
∴r＝，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝28π．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z∈R
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i
D．
【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB，由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），由为实数，得b＝0，所以z＝a∈R，故A正确；
若z＝i，则z2＝﹣1∈R，故B错误；
不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误；
设z＝a+bi（a，b∈R），则，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线
B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行
C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【分析】根据空间直线的位置关系，可判断A，B；利用面面平行的性质以及线面垂直的判定可判断C；根据空间的等角定理可判断D．
解：对于A，直线a，b没有交点，则直线a，b为平行直线或异面直线，故A错误；
对于B，直线a∥平面α，则a与α内任何直线都没有交点，则a与α内直线可能为平行直线或异面直线，故B错误；
对于C，直线a⊥平面α，则α内一定存在两相交直线，不妨设为m，n，满足a⊥m，a⊥n，
由平面α∥平面β，过m作一平面与β相交，交线设为m′，则m∥m′，
同理过n作一平面与β相交，交线设为n′，则n∥n′，
则m′，n′相交，则a⊥m′，a⊥n′，
故直线a⊥平面β，故C正确；
对于D，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，根据等角定理可知，这两个角相等或互补，故D正确．
故选：AB．
（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．事件A与事件相互独立
D．
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断．
解：由题意可得：P（A）＝＝，P（B）＝＝，
则P（）＝1﹣P（B）＝，
∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB），
∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝3≠0，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：n（∪B）＝n（Ω）﹣n（A）+n（AB）＝12，
故P（AB）＝＝，
P（∪B）＝＝，
P（AB）＝1﹣P（∪B）＝，
P（）＝1﹣P（AB）＝，
可知B正确，D错误；
又∵P（A）＝P（A）P（），
∴事件A与事件相互独立，C正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是 20 人
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数．
解：由题意，应抽取的女生人数是人．
故答案为：20．
13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 路 ．
【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果．
解：由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对，
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．
故答案为：路．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝ 2 ．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
解：∵，E为CD的中点，
∴＝＝（+）＝﹣，
∴＝+＝+﹣＝+，
∵，
∴λ＝，μ＝，
∴2λ+μ＝2，
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求csC的值，结合0＜C＜π，可求C的值；
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab的值，由已知可求a+b的值，联立方程即可解得a，b的值．
解：（1）因为ab＝c2﹣a2﹣b2，
由余弦定理有
因为0＜C＜π，
可得；
（2）因为△ABC的面积为，，
可得，可得ab＝8，
又由，
有ab＝28﹣a2﹣b2，可得a2+b2＝20，
有，
联立方程，解得，或，
故a＝2，b＝4或a＝4，b＝2．
16．已知向量为坐标原点．
（1）若，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得2×（﹣2）＝1﹣m，解可得答案；
（2）根据题意，设的夹角为θ，由数量积的计算公式计算可得答案．
解：（1）根据题意，因为，
所以，
又因为∥，则有2×（﹣2）＝1﹣m，解可得m＝5；
（2）由（1）知，
设的夹角为θ，
则．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．
（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；
（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．
【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可．
（2）根据，求出三棱锥M﹣BCD的高，然后利用体积公式即可．
解：（1）证明：取PD中点N，连接MN、AN，
∵MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，且，
又AE∥CD，且，∴四边形AEMN为平行四边形，
∴ME∥AN
又ME⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴ME∥平面PAD．
（2）∵，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，
∴．
18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．
（1）估计所打分数的众数，平均数；
（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图，以及众数的定义，以及平均数的计算公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，古典概型的概率公式，即可求解．
解：（1）由频率分布直方图可知，众数为，
5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，
故平均数为10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3＝65．
（2）由频率分布直方图可知，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，
则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，
按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为a，b，第二组抽4人，记为A，B，C，D，
故将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ab，Ba，Bb，
Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种，其中监督员来自不同组的为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，
故监督员来自不同组的概率P＝．
19．（17分）如图，在四棱锥O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．
（1）求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值；
（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．
【分析】（1）根据题意可得∠POQ为直线PO与平面OMQ所成的角，再计算余弦值，即可得出答案．
（2）连接NQ交MP于点E，推出∠NFQ是二面角N﹣OP﹣Q的平面角，再计算余弦值，即可得出答案．
解：（1）在正方形MNPQ中，有PQ⊥MQ，
因为OM⊥平面MNPQ，PQ⊂面MNPQ，
所以OM⊥PQ，
又因为OM⊂平面OMQ，MQ⊂平面OMQ，OM∩MQ＝M，
所以PQ⊥平面OMQ，
所以∠POQ为直线PO与平面OMQ所成的角，
在Rt△OMQ中，，
在Rt△OPQ中，，
，
所以直线PO与平面OMQ所成角的余弦值为．
（2）连接NQ交MP于点E，
在正方形MNPQ中，有NQ⊥MP，
因为OM⊥平面MNPQ，NQ⊂面MNPQ，
所以OM⊥NQ，
因为OM⊂平面OMP，MP⊂平面OMP，OM∩MP＝M，
所以NQ⊥平面OMP，
又OP⊂面OMP，
所以NQ⊥OP，
在△OPN中，过点N作NF⊥OP于点F，连接FQ，
因为NQ⊂平面NFQ，NF⊂平面NFQ，NQ∩NF＝N，
所以OP⊥平面NFQ，
又QF⊂面NFQ，
所以OP⊥QF，
则∠NFQ是二面角N﹣OP﹣Q的平面角，
在△OPN中，，
则NF＝＝＝，
同理可求得，
在△NFQ中，，
由余弦定理可得cs∠NFQ＝＝＝﹣，
则，
则二面角N﹣OP﹣Q的大小为π．
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（ ）
A．四分位数B．中位数C．众数D．均值
2．已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．
3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
4．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：
则这些空气质量指数的75%分位数为（ ）
A．35B．35.5C．36D．37
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．
6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（ ）
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1
C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1
8．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．28πB．7πC．14πD．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z∈R
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i
D．
（多选）10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线
B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行
C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．事件A与事件相互独立
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是 人
13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
16．已知向量为坐标原点．
（1）若，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．
（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；
（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．
18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．
（1）估计所打分数的众数，平均数；
（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．
19．（17分）如图，在四棱锥O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．
（1）求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值；
（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（ ）
A．四分位数B．中位数C．众数D．均值
【分析】分别根据百分位数，中位数，众数，均值的定义判断即可求解．
解：四分位数在统计学中是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，没有代表性；
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，没有代表性；
众数是一组数据中出现次数最多的数值，没有代表性；
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，所以选择均值较理想．
故选：D．
2．已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案．
解：，
所以 ．
故选：D．
3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】由向量的数量积的坐标表示可知，＝0，代入即可求解k
解：∵＝（，3），
又∵
∴＝＝0
∴k＝﹣3
故选：A．
4．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：
则这些空气质量指数的75%分位数为（ ）
A．35B．35.5C．36D．37
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
解：8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，
又8×75%＝6，
所以这些空气质量指数的75%分位数为．
故选：B．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．
【分析】根据正弦定理计算可得，代入式子即可求解．
解：由，得，
所以．
故选：C．
6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设向量，夹角为θ，由数量积的计算公式可得（2+）2＝42+2+4•＝5+4csθ＝8，变形可得答案．
解：根据题意，设向量，夹角为θ，
若单位向量，满足，
则有（2+）2＝42+2+4•＝5+4csθ＝8，
则有csθ＝，
故选：A．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（ ）
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1
C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1
【分析】连接AD1，BC1利用公理2可直接证得，并且由D1M∥AB可得1：2，从而求出结果；
解：如图：
连接AD1，BC1，
利用公理2可直接证得，
并且由D1E∥AB且D1E＝AB，
∴OD1＝BO，
∴D1，O，B三点共线，
且OB＝3OD1．
故选：B．
8．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．28πB．7πC．14πD．
【分析】设△ABC的外接圆的半径为r，根据正弦定理可求出r，再根据勾股定理建立方程，即可求解．
解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2R，
如图经补形可知球心在直三棱柱ABC﹣PDE高的中点处O，O′为△ABC外接圆的圆心，
外接球的半径＝2r＝4，
∴r＝，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝28π．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z∈R
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i
D．
【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB，由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），由为实数，得b＝0，所以z＝a∈R，故A正确；
若z＝i，则z2＝﹣1∈R，故B错误；
不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误；
设z＝a+bi（a，b∈R），则，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线
B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行
C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【分析】根据空间直线的位置关系，可判断A，B；利用面面平行的性质以及线面垂直的判定可判断C；根据空间的等角定理可判断D．
解：对于A，直线a，b没有交点，则直线a，b为平行直线或异面直线，故A错误；
对于B，直线a∥平面α，则a与α内任何直线都没有交点，则a与α内直线可能为平行直线或异面直线，故B错误；
对于C，直线a⊥平面α，则α内一定存在两相交直线，不妨设为m，n，满足a⊥m，a⊥n，
由平面α∥平面β，过m作一平面与β相交，交线设为m′，则m∥m′，
同理过n作一平面与β相交，交线设为n′，则n∥n′，
则m′，n′相交，则a⊥m′，a⊥n′，
故直线a⊥平面β，故C正确；
对于D，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，根据等角定理可知，这两个角相等或互补，故D正确．
故选：AB．
（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．事件A与事件相互独立
D．
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断．
解：由题意可得：P（A）＝＝，P（B）＝＝，
则P（）＝1﹣P（B）＝，
∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB），
∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝3≠0，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：n（∪B）＝n（Ω）﹣n（A）+n（AB）＝12，
故P（AB）＝＝，
P（∪B）＝＝，
P（AB）＝1﹣P（∪B）＝，
P（）＝1﹣P（AB）＝，
可知B正确，D错误；
又∵P（A）＝P（A）P（），
∴事件A与事件相互独立，C正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是 20 人
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数．
解：由题意，应抽取的女生人数是人．
故答案为：20．
13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 路 ．
【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果．
解：由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对，
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．
故答案为：路．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝ 2 ．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
解：∵，E为CD的中点，
∴＝＝（+）＝﹣，
∴＝+＝+﹣＝+，
∵，
∴λ＝，μ＝，
∴2λ+μ＝2，
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求csC的值，结合0＜C＜π，可求C的值；
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab的值，由已知可求a+b的值，联立方程即可解得a，b的值．
解：（1）因为ab＝c2﹣a2﹣b2，
由余弦定理有
因为0＜C＜π，
可得；
（2）因为△ABC的面积为，，
可得，可得ab＝8，
又由，
有ab＝28﹣a2﹣b2，可得a2+b2＝20，
有，
联立方程，解得，或，
故a＝2，b＝4或a＝4，b＝2．
16．已知向量为坐标原点．
（1）若，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得2×（﹣2）＝1﹣m，解可得答案；
（2）根据题意，设的夹角为θ，由数量积的计算公式计算可得答案．
解：（1）根据题意，因为，
所以，
又因为∥，则有2×（﹣2）＝1﹣m，解可得m＝5；
（2）由（1）知，
设的夹角为θ，
则．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．
（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；
（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．
【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可．
（2）根据，求出三棱锥M﹣BCD的高，然后利用体积公式即可．
解：（1）证明：取PD中点N，连接MN、AN，
∵MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，且，
又AE∥CD，且，∴四边形AEMN为平行四边形，
∴ME∥AN
又ME⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴ME∥平面PAD．
（2）∵，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，
∴．
18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．
（1）估计所打分数的众数，平均数；
（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图，以及众数的定义，以及平均数的计算公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，古典概型的概率公式，即可求解．
解：（1）由频率分布直方图可知，众数为，
5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，
故平均数为10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3＝65．
（2）由频率分布直方图可知，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，
则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，
按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为a，b，第二组抽4人，记为A，B，C，D，
故将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ab，Ba，Bb，
Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种，其中监督员来自不同组的为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，
故监督员来自不同组的概率P＝．
19．（17分）如图，在四棱锥O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．
（1）求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值；
（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．
【分析】（1）根据题意可得∠POQ为直线PO与平面OMQ所成的角，再计算余弦值，即可得出答案．
（2）连接NQ交MP于点E，推出∠NFQ是二面角N﹣OP﹣Q的平面角，再计算余弦值，即可得出答案．
解：（1）在正方形MNPQ中，有PQ⊥MQ，
因为OM⊥平面MNPQ，PQ⊂面MNPQ，
所以OM⊥PQ，
又因为OM⊂平面OMQ，MQ⊂平面OMQ，OM∩MQ＝M，
所以PQ⊥平面OMQ，
所以∠POQ为直线PO与平面OMQ所成的角，
在Rt△OMQ中，，
在Rt△OPQ中，，
，
所以直线PO与平面OMQ所成角的余弦值为．
（2）连接NQ交MP于点E，
在正方形MNPQ中，有NQ⊥MP，
因为OM⊥平面MNPQ，NQ⊂面MNPQ，
所以OM⊥NQ，
因为OM⊂平面OMP，MP⊂平面OMP，OM∩MP＝M，
所以NQ⊥平面OMP，
又OP⊂面OMP，
所以NQ⊥OP，
在△OPN中，过点N作NF⊥OP于点F，连接FQ，
因为NQ⊂平面NFQ，NF⊂平面NFQ，NQ∩NF＝N，
所以OP⊥平面NFQ，
又QF⊂面NFQ，
所以OP⊥QF，
则∠NFQ是二面角N﹣OP﹣Q的平面角，
在△OPN中，，
则NF＝＝＝，
同理可求得，
在△NFQ中，，
由余弦定理可得cs∠NFQ＝＝＝﹣，
则，
则二面角N﹣OP﹣Q的大小为π．
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
时间
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空气质量指数（AQI）
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