陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

这是一份陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知函数，则的极小值点为，阿基米德，下列求导运算正确的是，在等比数列中，，则的公比可能为等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章、第三章，选择性必修第二册。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．B．3C．6D．
4．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
5．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．15B．18C．23D．27
6．已知函数，则的极小值点为（ ）
A．B．1C．D．
7．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．在数列中，，则的前2022项和为（ ）
A．589B．590C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在等比数列中，，则的公比可能为（ ）
A．B．C．2D．4
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极值点为B．的最小值为
C．有两个零点D．直线是曲线的一条切线
12．已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．
C．D．的面积最小值为16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______．
14．已知圆，则圆在点处的切线方程为______．
15．在数列中，，且，则______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
18．（本小题满分12分）
已知圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，且成等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明：．
陇县第二高级中学2023~2024学年高二第一学期期末教学质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B A选项，当时，，故A错误；B选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；C选项，当时，，故C错误；D选项，当时，，故D错误．故选B．
2．D 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150°．故选D．
3．A 函数在处的导数为3，．故选A．
4．B 由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，即两圆相交．故选B．
5．B 因为是等差数列的前项和，所以．故选B．
6．B ，令，解得或，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为1．故选B．
7．C 可设椭圆的方程为，由题意可得解得所以椭圆的方程为．故选C．
8．C 因为，所以，，，，而，所以数列是以4为周期的周期数列，所以的前2022项和．故选C．
9．BC ，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误．故选BC．
10．ABC 设的公比为，所以，解得或或．故选ABC．
11．BD ，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，又，所以的最小值为，故B正确，A错误；当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故错误；令，解得，所以切点为，故D正确．故选BD．
12．ACD 设，因为，所以，所以在点处的切线方程为，即．同理可得，在点处的切线方程为．所以，直线的方程为，直线恒过定点．故A正确；由得，所以，所以，故B错误，C正确；，点到直线的距离，所以的面积，所以．故D正确．故选ACD．
13． 因为双曲线的焦点到渐近线的距离为4，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．
14． 因为，所以圆在点处的切线方程为，即．
15． 因为，所以，所以是公差为1的等差数列，又，所以，所以．
16．25 因为点是椭圆上的一点，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．
17．解：（1）当时，；
当时，．
时，也符合．
综上，的通项公式是；
（2）令，
解得（舍）或．
所以1262是数列的项，是第15项．
18．解：（1）设，则解得．
所以圆的方程为；
（2）因为点到直线的距离，
所以．
19．解：（1）因为，所以，所以，解得
所以在处的切线方程为，当时，，所以切点为，
所以，解得；
（2），令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的最小值为，
所以，解得，即实数的取值范围是．
20．（1）解：设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
即，
所以，有，即或，
①当时，，不合题意；
②当时，，得，
所以等比数列的通项公式；
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以数列的前项和，
由，可得．
21．解：（1）由题意知，解得，
所以双曲线的方程是；
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不符合题意；
②当直线的斜率为0时，符合题意，此时直线的方程为；
③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，记的中点为，又因为，所以．
由得，所以，
所以．
所以，
解得或，所以直线的方程为或．
由上知直线的方程为或或．
22．（1）解：在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以，
所以
，
令，令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，所以．