高考数学二轮复习专题专题7两个函数公切线问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题7两个函数公切线问题试题含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B． C．D．
2．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A．−∞,0B．C．D．
5．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，，则（ ）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为2+22，则
11．已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（ ）
A．B．
C．满足条件的直线有2条D．满足条件的直线只有1条
12．已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极值点为
B．曲线与有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于1
C．若时，则
D．若时，恒成立，则
13．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l:y=kx+b为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（ ）
A．和关于直线对称
B．若，则
C．当时，和必存在两条公切线
D．当时，
15．关于的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
16．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
17．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
18．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为
19．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ．
20．已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 .
21．已知曲线与的公切线为，则实数 .
22．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为 .
23．若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ．
24．曲线与的公切线方程为 .
25．设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ．
26．已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为 .
27．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ．
参考答案：
1．A
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数a的最大值为，
故选：A．
2．B
【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
3．D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.
【详解】由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点Ax1,y1,Bx2,y2，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.
故选：D
4．B
【分析】把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解.
记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得.
【详解】曲线上一点，，切线方程为：.
曲线上一点，，切线方程为：.
若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：.
因为曲线和曲线有且仅有两条公切线，
所以有且仅有两解.
记，则.
令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增.
所以.
又有，解得：（舍）或.
当，则；当，则；
而，所以要使有且仅有两解，
只需，解得：.
故选：B
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
5．D
【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围.
【详解】由，得；由，得，
因为曲线与曲线存在公切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又a>0，则，
将代入，得，则，
所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，则的范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到，从而得到关于的表达式，从而得解.
6．D
【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.
【详解】由函数，可得，所以且，
因为函数与偶函数在交点处的切线相同，
所以函数与相切于，且，
又因为为偶函数，所以，且，
所以函数在处的切线方程为，即．
故选：D.
7．A
【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围.
【详解】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，
因为，整理得，
同理，
因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，ex>0，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点.
故选：A.
8．B
【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解.
9．AC
【分析】设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，写出切线方程并联立，得出，设函数，利用导数求的取值范围，即的取值范围，再判断各选项.
【详解】由得；
由得.
设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，
所以，即，
可得或，
因为，，则，即，
，，
令，，
可得，
由，得；由，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以实数的取值范围.
因为，，，，即，，则，则AC正确.
故选：AC.
10．ACD
【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD.
【详解】对于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，所以，解得，故A正确；
对于B，设切点,，,，，，
有，
①代入②，可得，
当时，代入方程解得：，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当时，代入方程得：，
，故，，
所以函数与的一条公切线为：，故C正确；
对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于，
设,，,，,，,，，，
故
所以，，
，同理，
则中点即可中点，
所以四边形是平行四边形，
由处的切线方程为，
处的切线方程为，
得，即，结合可知， 是方程的根，
由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，
所以,且,故，
则，，
，
，
令，则，
故，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断.
11．AC
【分析】分别求出切点Ax1,y1和切点切线方程，再由直线与两条曲线都相切，由两切线的斜率相等，且在y轴上的截距相等求解.
【详解】解：由题可知直线与曲线相切于点Ax1,y1，又，
所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，
即，
直线与曲线相切于点
，则在点处的切线方程为，
即．
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即，
可得，解得，故A正确，B错误；
把代入，得，
在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：的值有两个，故C正确，D错误．
故选：AC
12．BCD
【分析】利用极值点的定义判断A；设出切点坐标，求出切线方程结合已知构造函数，借助函数零点个数判断B；令，构造函数并求出最小值判断C；利用不等式构造函数转化为恒成立求解判断D.
【详解】对于A，函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x值， A错误；
对于B，令公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
而，则曲线在处的切线：，
曲线在处的切线：，则，
消去得，令函数，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则存在，使得，即有
当时，，递减；当时，，递增，
，而，，
因此函数有2个零点，即方程有且只有2个不等的正根，
于是曲线与有且仅有两条公切线，与曲线相切的切点为
，而曲线与关于直线对称，
则两条公切线关于直线对称，与曲线相切的切点为，
两条切线斜率的积为，B正确；
对于C，令，则，令，
显然在0,+∞上单调递增，而，
则使得，即，且在上递减，在上递增，
从而，C正确；
对于D，恒成立，即恒成立，
而函数在R上单调递增，于是对恒成立，即恒成立，
令，求导得，当时，，递增；
当时，，递减，，因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．BD
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，则，
令，有，则，
即有，即，故，
令，则，
令，有，则，
即有，即，
故有，即.
故选：BD.
14．ACD
【分析】计算证明和互为反函数，即可判断A；设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得的值，从而可判断B；设和的公切线上的切点坐标分别为，根据导数的几何意义整理可得，设，求导确定函数hx的零点个数，从而可得方程根的个数，即可判断C；根据选项C可得，整理后可得结论，即可判断D.
【详解】选项A，对两边取对数，有，所以，
所以和互为反函数，即和关于直线对称，故A正确；
选项B，当时，公切线l为，设，，则，，
设直线l与曲线和分别切于点，，
所以，，解得，且，
所以，
即，因为，所以，即，故B错误；
选项C，当时，，，则，，
设和的公切线上的切点坐标分别为，
则，可得①，
将切点坐标代入公切线方程可得，
所以②，将①代入整理可得：，
设，则，
又令，所以恒成立，所以在0,+∞上单调递增，
又，则存在，使得，则，
故当x∈0,x0时，h′x<0，hx单调递减；当x∈x0,+∞时，h′x>0，hx单调递增，
则，又，，
故存在使得，存在使得，
所以和必存在两条公切线，选项C正确；
选项D，当时，由C选项可得，，所以，整理得，故D正确．
故选：ACD.
15．BC
【分析】根据函数的单调性和最值综合分析即可求解.
【详解】由，可得．
记，，
令，，
则，令，
则恒成立，
所以在上单调递增且，
所以当时，，所以，
当且仅当时，等号成立．
又，．且，
所以直线为与的图象在处的公切线时
才能使原不等式恒成立，此时，，
故选:BC．
16．/
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设曲线与的切点分别为，
易知两曲线的导函数分别为y′=1x，，
所以，
则.
故答案为：.
17．/
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
则两个切点都在直线上，设两个切点分别为，，
又，，则，，
由导数的几何意义可知，则，
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得，
由可得 ，
代入中可知，
所以，
所以.
故答案为：.
18．
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴hx在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数的最大值为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
19．1
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.
【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，
则处的切线方程为，即；
直线与曲线相切于，，
可得切线方程为，
即，
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即
可得，解得，
故答案为：.
20．（或）
【分析】设切点坐标分别为，，由切线斜率可得，结合公切线方程解得或，进而可得公切线方程.
【详解】因为，，则，，
设函数上的切点坐标为，切线斜率为，
函数上的切点坐标为，切线斜率为，
由切线斜率可得，即，
可得公切线方程为，
代入点可得，
代入可得，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：（或）.
21．
【分析】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得y′=1x，
设切点坐标为，可得，则切线方程为，
即，与公切线重合，可得，
可得，所以切线方程为，
对于函数，可得，设切点为，则
则 ，解得.
故答案为：
22．
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，则y′=1x，
所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
所以，消去得，
令，因为，所以，所以，
令，所以，则为增函数，
所以最多一个零点，容易知道，
所以只有一个解，所以，所以，
所以该直线的方程为，即.
故答案为：.
23．/
【分析】设直线切曲线于点，切曲线于点，利用导数的几何意义写出直线的两个方程，可得出关于、的方程组，消去，求出的值，即为所求.
【详解】设直线切曲线于点，切曲线于点，
由得，则直线的方程为，
即；
由可得，则直线的方程为，
即，
所以，，
消去可得，即，可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
24．
【分析】设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，最后得到直线方程.
【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为.
因为，
则公切线的斜率，所以.
因为公切线的方程为，即，
将代入公切线方程得，
由，得.
令，则，
当时，；当时，0，
故函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，
故公切线方程为，即.
故答案为：.
25．2x−y−1=0
【分析】根据导数几何意义和斜率的比值定义式，以及导数确定函数的单调性即可求解.
【详解】设直线l与函数的切点为A，
直线l与函数的切点为B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化简得，
令，
因为，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，为减函数，
，
所以恒成立，
所以单调递增，
所以最多一个零点，
容易知道，
所以只有一个解，
故，
所以A点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为，
即2x−y−1=0.
故答案为：2x−y−1=0.
【点睛】双切点联立方程，结合导数几何意义，构造函数是关键.
26．/0.5
【分析】设出公切线和两个曲线相切的切点，，根据导数的几何意义找到的关系，然后化二元为一元，将用一个量表示，结合导数工具求解.
【详解】由题意可知：，
设公切线和相切于，和相切于，
因为就没有垂直于轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为.
于是
由可得，；
由化简整理可得，.
根据可得，，
故，
设，则，
1.当时，显然；
2.当时，则，
令，则，
故在上递增，注意到，
①当时，，；
②当时，，；
综上所述：当时，；当时，；
则在上递增，在上递减，故，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的突破口在于，通过导数的几何意义，找出参数和两个切点横坐标的关系，利用消元的思想，消去一个未知量，然后构造函数进行求解.
27．
【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可.
【详解】由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
根据题设，若它们切线为公切线，则有，即，
又，即且，即，
由上关系式并消去并整理得在上有解，
令，则，
当，则，即，此时递增；
当，则或，即或，此时递减；
又，，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，根据公切线列方程组，注意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题.