《新高考数学大二轮复习课件》专题一 培优点1 函数的公切线问题

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导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
例　若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于A.1 　　　B.2 　　　 C.3 　　　D.3或－1
解析　设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，
此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
(2)已知曲线y＝ex在点(x1，　)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于A.－1 　　B.－2 　　C.1 　　D.2
解析　已知曲线y＝ex在点(x1，　)处的切线方程为y－　＝ (x－x1)，即y＝　x－　x1＋　，
所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.
(3)(2021·南昌模拟)已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是________________.
(－∞，2ln 2－2)
解析　设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
故当f′(k)>0时，04，所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，
又当k→0时，f(k)→－∞；当k→＋∞时，f(k)→－∞.所以只需满足m<2ln 2－2即可，所以实数m的取值范围是(－∞，2ln 2－2).
解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.
1.(2021·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为A.2 　　　B.5 　　　C.1 　　　 D.0
解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
2.(2021·龙岩模拟)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于
3.(2021·合肥模拟)曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝ln x有______条公切线.A.1 　　B.2 　　C.3 　　 D.4
设(x1，ln x1)是曲线g(x)＝ln x图象上任意一点，
构造函数h(x)＝(x－1)ex－1－x，则h′(x)＝xex－1－1，令u(x)＝xex－1－1，则u′(x)＝(x＋1)ex－1，故当x<－1时，u′(x)<0，h′(x)单调递减，当x>－1时，u′(x)>0，h′(x)单调递增，注意到当x<0时，h′(x)<0，且h′(1)＝0，所以当x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
根据函数零点存在定理可知在区间(－1,1)，(1,2)内各存在h(x)的一个零点，也即h(x)有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线f(x)和曲线g(x)有两条公切线.
4.(2021·山西大学附属中学质检)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝a　 (a≠0)，若函数y＝f(x)的图象上存在点P(x0，y0)，使得y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与y＝g(x)的图象也相切，则a的取值范围是__________.
当t>0 时，h(t)>0，当t从右侧趋近于0时，h(t)趋近于0，
当t趋近于＋∞ 时，h(t) 趋近于0，