高考数学二轮复习专题专题4数列插入项、公共项问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题4数列插入项、公共项问题试题含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前n+1项的和，后n+1项的和之比为，则插入数的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．设正项数列的前项和为，且，从中选出以为首项，以原次序组成等比数列，，…，，…，．记是其中公比最小的原次序组成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第n+1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240B．360C．480D．560
5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A．−252B．-13C．D．-14
6．已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1678B．1666C．1472D．1460
7．将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（ ）
A．3255B．5250C．5430D．6235
8．已知，，，数列an与数列bn的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A．B．C．D．
9．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是3，且，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则的值可能为7
三、填空题
11．谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作次后，该三角中白色三角形的个数为，则 ，若黑色三角形个数为，则 .

12．已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，则 .
13．对于集合A，，定义集合. 已知等差数列和正项等比数列{bn}满足，，，．设数列和{bn}中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和 .
14．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第 项.
15．设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和 ．
16．已知，，，若将数列与数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ．
17．将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的n的最小值为 .
18．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为 .
19．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ．
20．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 .
21．已知数列的通项公式是.在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列.那么 .按此进行下去，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，则 .
22．为提升同学们的科创意识，学校成立社团专门研究密码问题，社团活动室用一把密码锁，密码一周一换，密码均为的小数点后前6位数字，设定的规则为：
①周一至周日中最大的日期为x，如周一为3月28日，周日为4月3日，则取周四的3月31日的31作为x，即；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即，，，，，，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即1，，3，22，5，7，，9，11，13，…；
③N为数列的前x项和，如，则9项分别为1，，3，22，5，7，，9，11，故，因为，所以密码为142857.
若周一为4月22日，则周一到周日的密码为 .
23．如图数阵中，第一行有两个数据圴为1，将上一行数据中每相邻两数的和插入到两数中，得到下一行数据，形成数阵，则数阵第11行共有 个数，第行所有数据的和 .

24．设等差数列的前项和为，且，.则数列的通项公式为 ；在任意相邻两项ak和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前200项的和为 .
参考答案：
1．B
【分析】设插入的这个数分别记为、、、，计算出这个数列的公差，计算出这个数列前n+1项的和与所有项的和，根据这个数列的前n+1项的和占所有项之和的可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】设插入的这个数分别记为、、、，
由等差数列的性质可得，
这个数列的公差为，这个数列所有项的和为，
这个数列的前n+1项的和为，
因为这个数列的前n+1项的和与后n+1项的和之比为，
则，即，解得，
所有，插入数的个数是个.
故选：B.
2．C
【分析】根据与的关系式，分成与两种情况求解，观察知其每项均为偶数，讨论当，公比或时能否成立，从而得出满足题意的数列，再得出.
【详解】当时，，即，
得或（舍去），
当时，由，……①
得，……②
得：，
化简得.
因为an>0，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以.
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；
下面证明此时的公比最小：
，假若取a2=6，公比为，
则为奇数，不可能在数列中.
所以.
又，所以.
故选：C
3．D
【分析】设介于第个与第n+1个之间或者为这两个当中的一个，求出，然后即可求出、，再利用错位相减法求出新数列的和.
【详解】设介于第个与第n+1个之间或者为这两个当中的一个，
则从新数列的第个到第个一共有项，
从新数列的第个到第n+1个一共有项，
所以，
因为，且，所以，
而，即，，，所以、，故A、B错误；
，
令，
则，
所以，
则，
所以，故D正确，C错误.
故选：D.
4．A
【分析】先求得，然后利用等差数列的性质求得.
【详解】设等比数列的公比为，
依题意，，
则，即，所以，
所以，则，则，
所以，所以，
，所以.
故选：A
5．A
【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解.
【详解】解：数列为：，
，
设及其后面项的和为，则，
所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.
所以前65项的和为，
故选：A.
6．B
【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可.
【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选：B.
7．C
【分析】根据等差数列的特点得到数列和数列均为等差数列，然后令，得到，然后通过列举得到数列an为等差数列，最后利用等差数列求和公式计算即可.
【详解】显然数列和数列均为等差数列，
令，其中，
可得，则，
则数列an为等差数列，且，公差为，
所以an的前30项的和为.
故选：C.
8．D
【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和.
【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以，
，
所以，
故选：D．
9．A
【分析】根据新定义判断出是公比为的等比数列，再利用迭乘法得到 ，最后根据和，联立方程组求解即可.
【详解】令，即，则，
由已知得，所以数列为公比为的等比数列，
设，则，，，，
当时，累乘可得，
即，
当时，，当时，，解得，
故选：A.
10．ABD
【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列an与bn的下标关系判断D.
【详解】对于A，由题意得，A正确；
对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确；
对于C，由B选项知，令，则，即是数列an的第8项，C错误；
对于D，插入个数，则，
则等差数列an中的项在新的等差数列bn中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列，
于是，而是数列an的项，令，当时，，D正确.
故选：ABD
11． .
【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系，故可求.
【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个白色三角形均可以得到下一个图形中的3个小白色三角形，故，
而，故为等比数列，故，则，
而每一个图形中的黑色三角形是前个图形中的黑色三角形与白色三角形截得的小黑色三角形构成，
故，而，
故，
而也符合该式，故.
故答案为：，.
12．819
【分析】由题中可得，再验证后可得；然后由可得，从而可得，可求得，从而可求得，即可求解.
【详解】由题， .
当时， ，当时， .
当时也满足.故，
又由，当时，
当时， ，
故bn是以为首项，为公比的等比数列，故，
故数列为与的公共项，
又，
故，故.
故答案为：819.
13．1632
【分析】由得解出q，即可得{bn}通项公式，再由可解出d，可得通项公式，根据定义，找出数列和{bn}前面相同的项，进而确定前30项，即可求和.
【详解】{bn}为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；
为等差数列，则，∴，∴.
由，可得当时，，
故数列的前30项包含数列前33项除去数列{bn}第2、4、6项，
.
故答案为：1632
14．28
【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.
【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，
即有，则，因此，即，有，
于是得数列的通项为，，由得：，
所以数列的第10项是数列的第28项.
故答案为：28
15．
【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在数列的前50项内，则数列的前50项中包括的前48项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，集合构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，
集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，
可得，
又由不在集合中，在集合中，也在集合中，
因为，解得，此时，所以不在数列的前50项内，
则数列的前50项的和为
.
故答案为：.
16．
【分析】分类讨论奇偶性，可知，利用裂项相消法分析求解.
【详解】因为数列是正奇数组成的数列，
所以数列中所有的奇数是数列和数列的公共项，
当为奇数时，设，则，为奇数；
当为偶数时，设，则，为偶数；
综上所述：.
则，
所以．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是观察数列的通项公式，发现数列是正奇数组成的数列，故可以通过判断数列各项的奇偶，得到，再利用裂项相消法求和即可．
17．19
【分析】根据给定条件，求出数列的通项形式，再分析不等式成立的最少项数作答.
【详解】令数列的第项与数列的第项为公共项，即，，
于是，则或，，
即有或，，
因此或，，
从而数列是数列和的项从小到大排列得到的，
显然数列都是递增的，
而当时，，，
当时，，，显然，
即数列前18项均小于2023，第19项为2116，是第一个大于2023的项，
所以使得成立的n的最小值为19.
故答案为：19
18．
【分析】设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，进而得第次挖去的正三角形总面积为，进而根据题意得，，，再求的前项和即可.
【详解】解：设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，
所以第次挖去的正三角形总面积为，
由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，
所以；
设原正三角形的面积为，由于原正三角形边长为4，故.
由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，
所以，
所以，
由于，故为等比数列，
所以的前项和为，
所以当时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为
故答案为：
19．
【分析】由和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由题意得到求得k，即可求解.
【详解】由，可得，
解得，
当时，，
即，
可得数列是首项和公比均为3的等比数列，
所以，
设是的第m项，则，
因为，
所以不是中的项，
因为，
所以是中的项，
所以
所以.
故答案为：.
20．5
【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式即可求解
【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，第次操作，
去掉的线段长度为，则，
由，，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
21． 21
【分析】由的通项得出，，由，，，成等差数列，利用等差数列性质列式求解即可得出，若，，，…，，成等差数列，设其公差为，则可得出，，结合等差数列前项和得出，设，利用错位相减法得出，将原式分组即可结合等比数列前项和并代入得出答案.
【详解】由，，，
，，，成等差数列，
，且公差为，
，，
在和之间插入个数，，…，，
使，，，…，，成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
设，
则，
则，
则，
，
则，
，
，
故答案为：21；.
22．428571
【分析】先根据已知条件确定，通过比较与、的大小确定数列的组成，分组求和确定数列的前项和为，计算即可求解密码.
【详解】因为周一为4月22日，则周日日期为4月28日，所以为偶数，
所以数列为，，，，，，10，12，14，…
所以数列的前项和；
设为首项，公差的等差数列，，
前项和为
设为首项，公差的等比数列，，
前项和为
因为，，，
所以数列的前项中有数列中的前项，与数列中的前项，
所以，所以，
所以，若周一为4月22日，则周一到周日的密码为.
故答案为：
23． 1025
【分析】设第行数据有个，根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得，进而求得.根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得.
【详解】由数阵形成规律，设第行数据有个，
则，
则，
是以1为首项，2为公比的等比数列.
则，
，
设第行数据的和为，
第行数据为，
则第行数据为，
，
，
得从第二项起，是以为第二项，以3为公比的等比数列，
，
，
时，，
.
故答案为：1025；
24． an=3n+2
【分析】空1：设等差数列an的公差为，由求解；空2：由题意得到，bn的各项为，再确定数列的项求解.
【详解】设等差数列an的公差为，
由题得，即，
整理得，解得.所以an=3n+2.
由题意可知，bn的各项为
即，
因为，
且，
所以，，，，，，会出现在数列bn的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
故答案为：an=3n+2；.